Để chứng minh công thức diện tích \( S \) của tứ giác nội tiếp, ta sử dụng công thức Heron mở rộng cho tứ giác.

Gọi \( a, b, c, d \) lần lượt là độ dài các cạnh \( AB, BC, CD, DA \) của tứ giác \( ABCD \). Định nghĩa \( p \) là nửa chu vi của tứ giác:

\[
p = \frac{a + b + c + d}{2}
\]

Theo tính chất của tứ giác nội tiếp, diện tích \( S \) của tứ giác này có thể được tính bằng công thức:

\[
S = \sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}
\]

Để hiểu rõ hơn, ta sẽ sử dụng định lý Brahmagupta, một định lý trong hình học cho tứ giác nội tiếp:

1. **Định lý Brahmagupta**:
- Nếu \( ABCD \) là tứ giác nội tiếp, thì diện tích \( S \) của tứ giác này bằng:

\[
S = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}
\]

trong đó \( s \) là nửa chu vi của tứ giác.

2. **Giải thích bước tính**:
- Chúng ta thay thế giá trị của \( p \):

\[
S = \sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)} = \sqrt{\left(\frac{a+b+c+d}{2}-a\right)\left(\frac{a+b+c+d}{2}-b\right)\left(\frac{a+b+c+d}{2}-c\right)\left(\frac{a+b+c+d}{2}-d\right)}
\]

Điều này làm giảm độ phức tạp và cho ra được kết quả chính xác cho diện tích của tứ giác nội tiếp.

Chung quy lại, công thức diện tích của tứ giác nội tiếp là:

\[
S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}
\]

với \( p = \frac{a+b+c+d}{2} \).