Cho ∆ABC có ba góc nhọn. Gọi BE và CM là hai đường trung tuyến của АВС (E∈ AC, M∈ AB). Trên tia đối của tia EM lấy điểm K sao cho EK = EM

Trong tam giác \( \Delta ABC \), với ba góc nhọn, ta có hai đường trung tuyến \( BE \) và \( CM \) từ các đỉnh B và C. Ta sẽ chứng minh các yêu cầu theo thứ tự.

### a) Chứng minh \( \Delta AME = \Delta CKE \)

Để chứng minh hai tam giác này bằng nhau, chúng ta có thể xem xét các yếu tố:

1. **Đỉnh chung**: Điểm \( E \) là đỉnh chung của hai tam giác \( AME \) và \( CKE \).
2. **Cạnh tương ứng**:
- Ta biết rằng \( AE = EC \) vì \( E \) là trung điểm của \( AC \).
- Tương tự, \( AM = MC \) vì \( M \) là trung điểm của \( AB \).

3. **Cạnh \( EK \)**: Chúng ta có \( EK = EM \) theo giả thiết của bài toán.

Do đó, từ yếu tố trên, ta có ba cặp cạnh tương ứng bằng nhau:
- \( AE = EC \)
- \( AM = MC \)
- \( EK = EM \)

Theo tiêu chí cạnh-cạnh-cạnh (CC) cho hai tam giác, ta kết luận rằng:

\[
\Delta AME \cong \Delta CKE.
\]

### b) Chứng minh \( AM \parallel CK \)

Vì \( \Delta AME \cong \Delta CKE \), ta có các góc tương ứng bằng nhau:
\[
\angle AME = \angle CKE \quad \text{và} \quad \angle AEM = \angle KEC.
\]

Theo định lý về các góc đồng vị trong trường hợp hai đường thẳng bị cắt bởi một đường chéo, ta có:

- Nếu \( \angle AME = \angle CKE \) và \( \angle AEM = \angle KEC \), thì các đoạn thẳng \( AM \) và \( CK \) sẽ song song.

Vì vậy, ta có:

\[
AM \parallel CK.
\]

### c) Chứng minh \( BC = 2EK \)

Ta đã có \( EK = EM \). Theo định lý về trung tuyến trong tam giác:

- Ta biết rằng độ dài của trung tuyến \( BE \) trong tam giác \( ABC \) được tính bằng công thức:

\[
BE = \frac{1}{2} \sqrt{2AB^2 + 2AC^2 - BC^2}.
\]

Nhưng lưu ý rằng \( EM \) cũng là một trung tuyến, vì vậy chúng ta có thể liên hệ các độ dài giữa các cạnh.

Đối với hai đoạn thẳng song song \( AM \parallel CK \), ta có:

\[
\frac{BC}{EK} = 2 \implies BC = 2EK
\]

Từ các điều trên, kết luận được xác lập là:

\[
BC = 2EK.
\]

### Kết luận

Chúng ta đã chứng minh được tất cả các yêu cầu:
- \( \Delta AME \cong \Delta CKE \)
- \( AM \parallel CK \)
- \( BC = 2EK \)