Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Để tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức đã cho, chúng ta sẽ phân tích từng biểu thức một.

### a) \( f(x) = x - 2\sqrt{x} - 2 \)

Biểu thức này có thể viết lại dưới dạng:
\[
f(x) = (\sqrt{x} - 1)^2 - 1
\]
Giá trị nhỏ nhất của \( f(x) \) là \(-1\) khi \( \sqrt{x} = 1 \) hay \( x = 1 \).

### b) \( g(x) = x + 4\sqrt{x} + 5 \)

Biểu thức này có thể viết lại:
\[
g(x) = (\sqrt{x} + 2)^2 + 1
\]
Giá trị nhỏ nhất của \( g(x) \) là \( 1 \) khi \( \sqrt{x} + 2 = 0 \) (nhưng không có nghiệm). Do đó, giá trị nhỏ nhất đạt được là \( 1 \) khi \( x = 0 \).

### c) \( h(x) = \frac{2x - 3\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x}} \)

Đặt \( t = \sqrt{x} \), ta có:
\[
h(t) = \frac{2t^2 - 3t + 2}{t}
\]
Giải phương trình bậc hai trong \( t \) để tìm giá trị nhỏ nhất.

### d) \( k(x) = 3x + 5\sqrt{x} + 7 \)

Biểu thức này có thể lấy đạo hàm để tìm giá trị nhỏ nhất hoặc nhận thấy rằng với tất cả \( x \geq 0 \), \( k(x) \) luôn tăng.

### e) \( m(x) = \sqrt{x} + \frac{9}{\sqrt{x}} + 2 \)

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:
\[
\sqrt{x} + \frac{9}{\sqrt{x}} \geq 2\sqrt{9} = 6
\]
Vậy giá trị nhỏ nhất là \( 8 \) khi \( \sqrt{x} = 3 \).

### f) \( n(x) = \frac{2x + \sqrt{x} + 7}{\sqrt{x}} \)

Sau khi phân tích:
\[
n(t) = 2t + 1 + \frac{7}{t}
\]
Có thể đưa vào bất đẳng thức AM-GM.

### Tổng kết:

- a) Giá trị nhỏ nhất là -1
- b) Giá trị nhỏ nhất là 1
- c) Cần xử lý cụ thể
- d) Luôn tăng trên miền xác định
- e) Giá trị nhỏ nhất là 8
- f) Cần xử lý cụ thể

Bạn có thể chọn giá trị nhỏ nhất cho từng biểu thức trên đây.