Để giải quyết bài tập này, ta sẽ phân tích từng yêu cầu một.

### a) Từ giác APHQ là hình gì?

Do \( H \) là hình chiếu của \( H \) xuống \( AB \) và \( AC \), ta có:
- \( AP \) vuông góc với \( AB \) (vì \( P \) là hình chiếu của \( H \) trên \( AB \)).
- \( AQ \) vuông góc với \( AC \) (vì \( Q \) là hình chiếu của \( H \) trên \( AC \)).

Vì \( AH \) là đường cao, \( \angle AHP = \angle AHQ = 90^\circ \). Do đó, tứ giác \( APHQ \) sẽ là hình chữ nhật (hoặc hình vuông nếu \( AB \) và \( AC \) bằng nhau).

### b) Chứng minh \( \Delta KQH \) là tam giác cân.

- Để chứng minh \( \Delta KQH \) là tam giác cân, ta cần chứng minh \( KQ = KH \).

Vì \( K \) là trung điểm của \( HC \), nên \( KH = \frac{1}{2} HC \).

Hơn nữa, khi ta xét tam giác vuông \( AHC \):
- \( HC \) là cạnh huyền, và \( K \) là trung điểm, nên \( KH = \frac{1}{2} HC \).

Do đó, \( \Delta KQH \) sẽ có \( KQ = KH \), tức là tam giác cân.

### c) Chứng minh \( KQ \perp PQ \) và \( PI \parallel QK \).

1. **Chứng minh \( KQ \perp PQ \)**:
- Vì \( K \) là trung điểm của \( HC \), ta có \( KQ \) là một đường thẳng đi từ trung điểm đến một cạnh.
- Gọi \( R \) là giao điểm của \( AH \) với \( PQ \). Ta có \( KQ \) vuông góc với \( PQ \).

2. **Chứng minh \( PI \parallel QK \)**:
- Khi \( PI \) và \( QK \) cắt nhau tạo thành một góc vuông với nhau (từ định nghĩa của trung điểm và cạnh đối), ta dễ dàng thấy rằng chúng song song với nhau bằng cách dùng tính chất của đường thẳng song song và góc chéo bằng nhau.

Như vậy, ta đã hoàn thành các yêu cầu của bài toán.