Để giải bài toán này, ta sử dụng một số tính chất và định lý hình học:

1. **Tính chất của tam giác cân**: Trong tam giác ABC cân tại A, ta có AB = AC.

2. **Tính chất đường trung bình**: M là trung điểm của CH, nên ta có \(CM = MH\).

3. **Các tam giác vuông**: AH vuông góc với BC, do đó trong tam giác AMH:
- Tam giác AMH sẽ có các cạnh là AH (cao) và MH (đáy).

4. **Tính tỉ lệ giữa các tam giác**:
- Hai tam giác DMC và DMH đều có chung cạnh DM.
- DMC có chiều cao từ D xuống đường thẳng MC.
- DMH có chiều cao từ D xuống đường thẳng MH.

Vì vậy, khi xét tỉ số diện tích của hai tam giác này, ta có được tỉ lệ giữa chiều cao tương ứng của chúng và cạnh DM là cùng một đoạn thẳng.

Giả sử chiều cao từ D đến BC là \(h_1\) và từ D đến MH là \(h_2\):
\[
\frac{S_{DMC}}{S_{DMH}} = \frac{h_1}{h_2}
\]

Do M là trung điểm của CH và các tam giác DMC và DMH chia đều chiều cao, ta sẽ có tỉ lệ:
\[
k = \frac{CM}{MH} = 1 \text{ (vì M là trung điểm)}
\]

Vậy giá trị của k là:
\[
\boxed{1}
\]