Để chứng minh rằng \( y \) là số chẵn trong bài toán đã cho, ta có thể tiến hành như sau:

Giả sử \( x^2 - y = m^2 \) và \( x^2 + y = n^2 \), với \( m \) và \( n \) là các số nguyên dương. Từ hai phương trình này, ta có thể viết lại như sau:

1. \( y = x^2 - m^2 \)
2. \( y = n^2 - x^2 \)

Từ đó, ta có hệ:

\[
x^2 - m^2 = n^2 - x^2
\]

Sắp xếp lại, ta có:

\[
2x^2 = m^2 + n^2
\]

Từ đó, ta suy ra:

\[
x^2 = \frac{m^2 + n^2}{2}
\]

Bởi vì \( x^2 \) là một số chính phương, nên \( m^2 + n^2 \) phải chia hết cho 2. Điều này xảy ra khi cả \( m \) và \( n \) đều có cùng dạng (cả chẵn hoặc cả lẻ).

### Trường hợp 1: \( m \) và \( n \) đều chẵn

Khi đó \( m = 2k \) và \( n = 2l \) với \( k, l \) là số nguyên. Suy ra:

\[
m^2 + n^2 = (2k)^2 + (2l)^2 = 4(k^2 + l^2)
\]

Lúc này:

\[
x^2 = \frac{4(k^2 + l^2)}{2} = 2(k^2 + l^2)
\]

Vì vậy \( x^2 \) là số chẵn. Suy ra \( y = x^2 - m^2 = 2(k^2 + l^2) - 4k^2 = 2(l^2 - k^2) \), do đó \( y \) cũng là số chẵn.

### Trường hợp 2: \( m \) và \( n \) đều lẻ

Khi đó \( m = 2k + 1 \) và \( n = 2l + 1 \) với \( k, l \) là số nguyên. Suy ra:

\[
m^2 + n^2 = (2k + 1)^2 + (2l + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 + 4l^2 + 4l + 1 = 4(k^2 + l^2 + k + l) + 2
\]

Rõ ràng tại đây \( m^2 + n^2 \) là số lẻ, nên không chia hết cho 2, điều này mâu thuẫn với việc \( 2x^2 = m^2 + n^2 \).

Kết luận từ hai trường hợp trên cho thấy \( y \) nhất thiết phải là số chẵn. Do đó, ta có thể khẳng định rằng:

\[
\text{Số } y \text{ là số chẵn.}
\]