Để tính chiều dài của hai thanh gỗ khi được buộc lại với nhau, ta cần cộng chiều dài của từng thanh và sau đó trừ đi đoạn gỗ nổi.

1. Đầu tiên, chúng ta tính chiều dài của hai thanh gỗ:
- Thanh gỗ thứ nhất: \( \frac{8}{5} \) m
- Thanh gỗ thứ hai: \( \frac{4}{3} \) m

2. Tìm bội chung nhỏ nhất (BCNN) của 5 và 3 để cộng hai phân số:
- BCNN của 5 và 3 là 15.

3. Chuyển đổi các phân số về mẫu số chung (15):
- Thanh gỗ thứ nhất: \( \frac{8}{5} = \frac{8 \times 3}{5 \times 3} = \frac{24}{15} \) m
- Thanh gỗ thứ hai: \( \frac{4}{3} = \frac{4 \times 5}{3 \times 5} = \frac{20}{15} \) m

4. Cộng chiều dài của hai thanh gỗ:
\[
\frac{24}{15} + \frac{20}{15} = \frac{24 + 20}{15} = \frac{44}{15} \text{ m}
\]

5. Trừ đi đoạn gỗ nổi \( \frac{1}{4} \) m. Chúng ta cũng cần chuyển \( \frac{1}{4} \) về mẫu số chung 60:
- \( \frac{1}{4} = \frac{1 \times 15}{4 \times 15} = \frac{15}{60} \)
- Chuyển \( \frac{44}{15} \) cũng về mẫu số 60:
- \( \frac{44}{15} = \frac{44 \times 4}{15 \times 4} = \frac{176}{60} \)

6. Thực hiện phép trừ:
\[
\frac{176}{60} - \frac{15}{60} = \frac{176 - 15}{60} = \frac{161}{60} \text{ m}
\]

Cuối cùng, chiều dài của thanh gỗ mới mà bạn Khoa thu được là \( \frac{161}{60} \) m. Nếu cần, có thể chuyển đổi nó thành số thập phân:
\[
\frac{161}{60} \approx 2.6833 \text{ m}
\]

Vậy, chiều dài của thanh gỗ thu được là \( \frac{161}{60} \) m hoặc khoảng 2.68 m.