Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm bậc hai \( f(x, y) = 4x^2 + 3y^2 - 4xy + 2x - y + 5 \), ta có thể sử dụng phương pháp đạo hàm.

Bước 1: Tính đạo hàm riêng theo \( x \) và \( y \).

- Đạo hàm riêng theo \( x \):
\[
f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = 8x - 4y + 2
\]

- Đạo hàm riêng theo \( y \):
\[
f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = 6y - 4x - 1
\]

Bước 2: Giải hệ phương trình đạo hàm bằng 0.

\[
\begin{cases}
8x - 4y + 2 = 0 \quad (1)\\
6y - 4x - 1 = 0 \quad (2)
\end{cases}
\]

Từ phương trình (1):
\[
8x - 4y = -2 \implies 4y = 8x + 2 \implies y = 2x + \frac{1}{2}
\]

Thay \( y \) vào phương trình (2):
\[
6(2x + \frac{1}{2}) - 4x - 1 = 0
\]
\[
12x + 3 - 4x - 1 = 0
\]
\[
8x + 2 = 0 \implies x = -\frac{1}{4}
\]

Thay \( x \) vào biểu thức tính \( y \):
\[
y = 2(-\frac{1}{4}) + \frac{1}{2} = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 0
\]

Vậy ta có điểm cực trị \( (x, y) = (-\frac{1}{4}, 0) \).

Bước 3: Tính giá trị của hàm tại điểm cực trị này.

\[
f(-\frac{1}{4}, 0) = 4(-\frac{1}{4})^2 + 3(0)^2 - 4(-\frac{1}{4})(0) + 2(-\frac{1}{4}) - 0 + 5
\]

Tính từng phần:
\[
= 4 \cdot \frac{1}{16} + 0 + 0 - \frac{1}{2} + 5 = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} + 5 = \frac{1}{4} - \frac{2}{4} + \frac{20}{4} = \frac{19}{4}
\]

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm \( f(x, y) \) là \( \frac{19}{4} \).

Bước 4: Kiểm tra tính chất của điểm cực trị:
Để xác định cực trị là cực tiểu hay cực đại, ta cần tính nghiệm Hessian:
\[
H = \begin{bmatrix}
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \\
\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} & \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
8 & -4 \\
-4 & 6
\end{bmatrix}
\]

Tính định thức của ma trận Hessian:
\[
\Delta = 8 \cdot 6 - (-4)(-4) = 48 - 16 = 32 > 0
\]
Tính \( f_{xx} = 8 > 0 \).

Vì \( \Delta > 0 \) và \( f_{xx} > 0 \), nên \( (x, y) = (-\frac{1}{4}, 0) \) là điểm cực tiểu.

Tóm lại, giá trị nhỏ nhất của hàm \( 4x^2 + 3y^2 - 4xy + 2x - y + 5 \) là \( \frac{19}{4} \) tại điểm \( (x, y) = (-\frac{1}{4}, 0) \).