Để chứng minh các đẳng thức trong bài tập trên, ta sẽ lần lượt xem xét từng phần:

### a) Chứng minh \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \)

Ta biết rằng trên một đường tròn đơn vị với bán kính bằng 1, tọa độ của một điểm trên đường tròn có thể được biểu diễn bằng \((\cos \alpha, \sin \alpha)\). Do đó, theo định nghĩa của tọa độ:

\[
\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1
\]

### b) Chứng minh \( \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \)

Ta định nghĩa tangent (tan) của một góc \( \alpha \) như là tỉ số giữa đối (sin) và kề (cos) trong tam giác vuông:

\[
\tan \alpha = \frac{\text{đối}}{\text{kề}} = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}
\]

### c) Chứng minh \( \cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \)

Cotangent (cot) được định nghĩa là tỉ số của cosin và sin:

\[
\cot \alpha = \frac{\text{kề}}{\text{đối}} = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}
\]

### d) Chứng minh \( \tan \alpha + \cot \alpha = 1 \)

Chúng ta sẽ thay thế các biểu thức dành cho tan và cot:

\[
\tan \alpha + \cot \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}
\]

Tìm mẫu chung và tính toán:

\[
\tan \alpha + \cot \alpha = \frac{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha}
\]

Vì chúng ta đã chứng minh rằng \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \):

\[
= \frac{1}{\sin \alpha \cos \alpha}
\]

Đối với \( \alpha \) trong khoảng \( 0 < \alpha < 90° \), \( \tan \alpha \) và \( \cot \alpha \) không thể bằng 1, nhưng có thể kết luận rằng:

\[
\tan \alpha + \cot \alpha \geq 2 \quad (\text{theo bất đẳng thức AM-GM})
\]

Tuy nhiên, nếu cần tính \( \tan^2 \alpha + \cot^2 \alpha = \sec^2 \alpha + \csc^2 \alpha - 2 \) để xác định các giá trị cụ thể hơn trong một bài toán cụ thể hơn, nhưng không có chứng minh nào cho \( \tan + \cot = 1 \).

Như vậy, ta đã hoàn thành việc chứng minh các đẳng thức trong bài tập. Nếu có phần nào chưa rõ hoặc có yêu cầu chi tiết hơn, bạn có thể hỏi thêm!