Cho các số x, y, z ≥ 0 thỏa mãn 2x+13z=48 và x+4y=2024. Giá trị lớn nhất của x+2y+3z là

Để tìm giá trị lớn nhất của \(x + 2y + 3z\) với các ràng buộc:

1. \(2x + 13z = 48\)
2. \(x + 4y = 2024\)

ta sẽ sử dụng phương pháp loại trừ.

Trước tiên, từ phương trình \(2x + 13z = 48\), ta có thể biểu thị \(z\) theo \(x\):

\[
13z = 48 - 2x \implies z = \frac{48 - 2x}{13}
\]

Từ phương trình \(x + 4y = 2024\), ta cũng có thể biểu thị \(y\) theo \(x\):

\[
4y = 2024 - x \implies y = \frac{2024 - x}{4}
\]

Bây giờ ta thay \(y\) và \(z\) vào biểu thức \(x + 2y + 3z\):

\[
x + 2y + 3z = x + 2 \left(\frac{2024 - x}{4}\right) + 3 \left(\frac{48 - 2x}{13}\right)
\]

Tính toán biểu thức trên:

\[
= x + \frac{4048 - 2x}{4} + \frac{144 - 6x}{13}
\]

Đưa mọi thứ về cùng một mẫu số, chọn mẫu số chung là 52:

\[
= \frac{52x}{52} + \frac{4048 - 2x}{4} \cdot \frac{13}{13} + \frac{144 - 6x}{13} \cdot \frac{4}{4}
\]

\[
= \frac{52x + 13(4048 - 2x) + 4(144 - 6x)}{52}
\]

Tính từng phần một:

- \(52x\)
- \(13 \cdot 4048 = 52624\)
- \(13 \cdot (-2x) = -26x\)
- \(4 \cdot 144 = 576\)
- \(4 \cdot (-6x) = -24x\)

Tổng hợp lại, ta có:

\[
= \frac{52x - 26x - 24x + 52624 + 576}{52} = \frac{2x + 53200}{52}
\]

Để tìm giá trị tối đa của \(x + 2y + 3z\), bây giờ ta cần tối thiểu hóa \(x\) trong các ràng buộc. Xét các điều kiện:

Từ \(2x + 13z = 48\), ta có:

- Nếu \(z = 0\), thì \(2x = 48 \implies x = 24\).
- Nếu \(x = 0\), thì \(13z = 48 \implies z = \frac{48}{13}\).

Xét điều kiện \(x + 4y = 2024\):

- Với \(x = 24\), ta có \(24 + 4y = 2024 \implies 4y = 2000 \implies y = 500\).

Bây giờ tìm các giá trị:

- Với \(x = 24, y = 500, z = 0\):

\[
x + 2y + 3z = 24 + 2 \cdot 500 + 3 \cdot 0 = 24 + 1000 = 1024
\]

- Khả năng khác với \(z = \frac{48}{13}\), ta có thể tìm \(x\) dựa trên giá trị \(48 - 13z\), nhưng bởi vì có rất ít khả năng từ điều này cộng với điều kiện \(x + 4y\), ta thấy rằng giá trị \(z = 0\) là lớn nhất.

Do đó, giá trị lớn nhất của \(x + 2y + 3z\ là 1024\).

Vì vậy, đáp án là:

\[
\text{Giá trị lớn nhất của } x + 2y + 3z là \boxed{1024}.
\]