Để giải phương trình \( |3x + 4| + |3x - 5| = 0 \), ta cần xem xét các tính chất của giá trị tuyệt đối.

Giá trị tuyệt đối là luôn không âm, tức là \( |a| \geq 0 \) cho mọi số thực \( a \). Do đó, tổng \( |3x + 4| + |3x - 5| \) sẽ bằng 0 chỉ khi cả hai giá trị tuyệt đối đó đều bằng 0.

Vậy ta có:

1. \( |3x + 4| = 0 \)

Điều này dẫn đến:

\[
3x + 4 = 0 \implies 3x = -4 \implies x = -\frac{4}{3}
\]

2. \( |3x - 5| = 0 \)

Điều này dẫn đến:

\[
3x - 5 = 0 \implies 3x = 5 \implies x = \frac{5}{3}
\]

Tuy nhiên, cả hai điều kiện \( |3x + 4| = 0 \) và \( |3x - 5| = 0 \) không thể xảy ra cùng một lúc, vì \( -\frac{4}{3} \) và \( \frac{5}{3} \) là hai giá trị khác nhau.

Vì vậy, phương trình \( |3x + 4| + |3x - 5| = 0 \) không có nghiệm nào thỏa mãn.

Tóm lại, không tồn tại giá trị \( x \) nào thỏa mãn phương trình đã cho.