Cho các số x, y, z lớn hơn hoặc bằng 0 thỏa mãn 2x + 13z = 48 và x + 4y = 2024. Giá trị lớn nhất của x+2y+3z

Để tìm giá trị lớn nhất của \(x + 2y + 3z\) với các điều kiện đã cho, chúng ta sẽ tiến hành giải bài toán bằng cách sử dụng phương pháp thay thế từ hai phương trình.

1. **Thiết lập các phương trình đã cho**:
- Cái đầu tiên: \(2x + 13z = 48\)
- Cái thứ hai: \(x + 4y = 2024\)

2. **Giải một trong các phương trình để biểu diễn một biến theo biến khác**:
Từ phương trình thứ nhất, chúng ta có:
\[
13z = 48 - 2x \implies z = \frac{48 - 2x}{13}
\]

Từ phương trình thứ hai, ta có:
\[
4y = 2024 - x \implies y = \frac{2024 - x}{4}
\]

3. **Thay thế giá trị của \(y\) và \(z\) vào biểu thức cần tối đa hóa**:
\[
x + 2y + 3z = x + 2\left(\frac{2024 - x}{4}\right) + 3\left(\frac{48 - 2x}{13}\right)
\]
Đơn giản hóa biểu thức trên:
\[
= x + \frac{2(2024 - x)}{4} + \frac{3(48 - 2x)}{13}
\]
\[
= x + \frac{2024 - x}{2} + \frac{144 - 6x}{13}
\]

Đưa mọi thành phần về cùng mẫu:
\[
= \frac{2x}{2} + \frac{2024 - x}{2} + \frac{144 - 6x}{13}
\]

\[
= \frac{2x + 2024 - x}{2} + \frac{144 - 6x}{13}
\]
\[
= \frac{x + 2024}{2} + \frac{144 - 6x}{13}
\]

4. **Tối đa hóa biểu thức**:
Để tìm giá trị lớn nhất, chúng ta cần xét điều kiện cho \(x\), \(y\), và \(z\) phải lớn hơn hoặc bằng 0:
- Từ điều kiện \(2x + 13z = 48\), ta có:
\[
z = \frac{48 - 2x}{13} \geq 0 \implies 48 \geq 2x \implies x \leq 24
\]
- Từ điều kiện \(x + 4y = 2024\), ta có:
\[
y = \frac{2024 - x}{4} \geq 0 \implies 2024 \geq x \implies x \leq 2024
\]
- Kết hợp hai điều kiện trên, ta có \(x \leq 24\).

Đặt \(x = 24\):
\[
y = \frac{2024 - 24}{4} = \frac{2000}{4} = 500
\]
\[
z = \frac{48 - 2 \cdot 24}{13} = \frac{48 - 48}{13} = 0
\]

5. **Tính giá trị của \(x + 2y + 3z\)**:
\[
x + 2y + 3z = 24 + 2 \cdot 500 + 3 \cdot 0 = 24 + 1000 = 1024
\]

Do đó, giá trị lớn nhất của \(x + 2y + 3z\) là \(\boxed{1024}\).