Để chứng minh rằng điểm \( I \) là trung điểm của đoạn thẳng \( MN \), ta sẽ sử dụng định lý về các đường thẳng song song.

1. **Chọn hệ tọa độ**: Giả sử tam giác \( ABC \) có các đỉnh với tọa độ:
- \( A(0, 0) \)
- \( B(b_1, b_2) \)
- \( C(c_1, c_2) \)

2. **Điểm D trên BC**: Giả sử điểm \( D \) có tọa độ \( D(x_D, y_D) \), với \( y_D \) nằm giữa tọa độ của \( B \) và \( C \).

3. **Kẻ các đường thẳng song song**:
- Đường thẳng song song với \( AC \) sẽ có cùng hệ số góc với \( AC \).
- Đặt phương trình của đường thẳng \( AC \): \( y = m_{AC}x \) với \( m_{AC} = \frac{c_2 - 0}{c_1 - 0} = \frac{c_2}{c_1} \).

4. **Phương trình các đường thẳng song song**: Các đường thẳng song song với \( AC \) từ \( D \) sẽ có dạng:
\[
y - y_D = m_{AC} (x - x_D)
\]

5. **Xác định điểm M và N**:
- Đường thẳng cắt \( AB \) tại \( M \) và cắt \( AC \) tại \( N \).
- Sử dụng phương trình của đường thẳng \( AB \) và \( AC \) để tìm tọa độ của \( M \) và \( N \).

6. **Trung điểm I của AD**:
\[
I(x_I, y_I) = \left( \frac{x_A + x_D}{2}, \frac{y_A + y_D}{2} \right) = \left( \frac{0 + x_D}{2}, \frac{0 + y_D}{2} \right) = \left( \frac{x_D}{2}, \frac{y_D}{2} \right)
\]

7. **Chứng minh I là trung điểm của MN**: Ta cần chứng minh rằng tọa độ điểm \( I \) là trung bình của tọa độ điểm \( M \) và \( N \). Điều này sẽ được thực hiện thông qua việc xác định tọa độ của \( M \) và \( N \), sau đó tính toán và so sánh với tọa độ của \( I \).

Như vậy, từ tính chất của các đường thẳng song song và cách tổ chức vị trí các điểm, ta có thể chứng minh rằng \( I \) chính là trung điểm của đoạn \( MN \).