Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến và các điểm cực trị của hàm sau? Tìm các giá trị cực trị của các hàm số sau

Để tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến và các điểm cực trị của các hàm, ta sẽ thực hiện các bước sau:

### Bài tập 1: Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến và các điểm cực trị

#### a) \( y = 2x^3 + 3x^2 - 12x + 2024 \)

1. **Tính đạo hàm**:
\[
y' = 6x^2 + 6x - 12
\]

2. **Giải phương trình \( y' = 0 \)**:
\[
6x^2 + 6x - 12 = 0 \implies x^2 + x - 2 = 0
\]
\[
(x - 1)(x + 2) = 0 \implies x = 1 \quad \text{và} \quad x = -2
\]

3. **Xét dấu của \( y' \)** trong các khoảng:
- \( (-\infty, -2) \)
- \( (-2, 1) \)
- \( (1, \infty) \)

4. **Kết luận**:
- Đồng biến trên khoảng: \( (-2, 1) \) và \( (1, \infty) \)
- Nghịch biến trên khoảng: \( (-\infty, -2) \)
- Điểm cực trị: \( x = -2 \) (cực đại) và \( x = 1 \) (cực tiểu)

#### b) \( y = x^4 + 2024 \)

1. **Tính đạo hàm**:
\[
y' = 4x^3
\]

2. **Giải phương trình \( y' = 0 \)**:
\[
4x^3 = 0 \implies x = 0
\]

3. **Xét dấu**:
- \( y' > 0 \) khi \( x > 0 \)
- \( y' < 0 \) khi \( x < 0 \)

4. **Kết luận**:
- Đồng biến trên khoảng: \( (0, \infty) \)
- Nghịch biến trên khoảng: \( (-\infty, 0) \)
- Điểm cực trị: \( x = 0 \) (cực tiểu)

#### c) \( y = -\frac{1}{4}x^4 + 2x^2 + 2 \)

1. **Tính đạo hàm**:
\[
y' = -x^3 + 4x
\]

2. **Giải phương trình \( y' = 0 \)**:
\[
-x^3 + 4x = 0 \implies x(x^2 - 4) = 0 \implies x = 0, \, x = 2, \, x = -2
\]

3. **Xét dấu**:
- Điểm phân cách: \( -2, 0, 2 \)
- Các khoảng: \( (-\infty, -2), (-2, 0), (0, 2), (2, \infty) \)

4. **Kết luận**:
- Đồng biến: \( (0, 2) \)
- Nghịch biến: \( (-\infty, -2) \) và \( (2, \infty) \)
- Điểm cực trị: \( x = -2 \) (cực đại), \( x = 0 \) (cực tiểu), \( x = 2 \) (cực đại)

#### d) \( y = x^4 - 2x^2 - 2 \)

1. **Tính đạo hàm**:
\[
y' = 4x^3 - 4x
\]

2. **Giải phương trình \( y' = 0 \)**:
\[
4x(x^2 - 1) = 0 \implies x = 0, -1, 1
\]

3. **Xét dấu**:
- Điểm phân cách: \( -1, 0, 1 \)

4. **Kết luận**:
- Đồng biến: \( (1, \infty) \) và \( (-1, 0) \)
- Nghịch biến: \( (-\infty, -1) \)
- Điểm cực trị: \( x = -1 \) (cực đại), \( x = 0 \) (cực tiểu), \( x = 1 \) (cực đại)

### Bài tập 2: Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến

#### a) \( y = \sqrt{x^2 - 6x + 5} \)

1. **Tính đạo hàm**:
Sử dụng quy tắc chuỗi và đạo hàm của căn bậc hai.

#### b) \( y = \frac{5x + 9}{x - 1} \)

1. **Tính đạo hàm và xét dấu**.

#### c) \( y = (x - 2)(x + 1) \)

1. **Tính đạo hàm và xét dấu**.

### Bài tập 3: Tìm các điểm cực trị

#### a) \( y = -x^{-1} + 2x^3 \)

1. Tính đạo hàm và tìm điểm cực trị.

#### b) \( y = \frac{2x + 3}{x + 1} \)

1. Tính đạo hàm và xét dấu.

#### c) \( y = x^3 - 4x^2 + 5x - 1 \)

1. Tính đạo hàm và xét dấu.

### Bài tập 4: Thể tích V

Công thức đã cho cho việc tính thể tích \( V(T) \) đủ để thiết lập các phương trình cần thiết.

Nếu bạn cần giúp đỡ cụ thể với từng hàm hoặc bài toán, hãy cho tôi biết!