Cho đa thức lượng giác \( f(x) = \cos 4x + a \cos 2x + b \sin 2x. \). Chứng minh: 1. \( f(x) \) nhận giá trị dương và âm với mọi \( a, b. \) 2. Nếu \( f(x) \geq -1, \forall x \) thì \( a = b = 0. \)

Để chứng minh bài toán, ta sẽ xem xét từng phần một.

### 1. \( f(x) \) nhận giá trị dương và âm với mọi \( a, b \).

Đầu tiên, ta biết rằng \( \cos 4x \) nhận giá trị trong đoạn \([-1, 1]\).

Ta có thể viết lại:
\[
f(x) = \cos 4x + a \cos 2x + b \sin 2x.
\]

Đặt \( y = \cos 2x \) và \( z = \sin 2x \). Theo định lý Pythagore, ta có \( y^2 + z^2 = 1 \).

Từ đó, ta có:
\[
f(x) = \cos 4x + ay + bz.
\]

Gọi:
\[
g(y, z) = \cos 4x + ay + bz.
\]

Ta lưu ý rằng \( \cos 4x = 2 \cos^2 2x - 1 = 2y^2 - 1 \).

Vì vậy, ta có:
\[
f(x) = 2y^2 - 1 + ay + bz.
\]

Giả sử \( a \geq 0 \) và \( b \geq 0 \), thì \( f(x) \) có thể nhận giá trị dương. Tuy nhiên, nếu \( a \) và \( b \) có dấu ngược nhau hoặc một trong hai âm, thì sẽ có giá trị âm.

Ta có thể chọn các giá trị khác nhau cho \( \cos 4x \) (khi x thay đổi) để chứng minh rằng \( f(x) \) có thể nhận giá trị dương và âm.

### 2. Nếu \( f(x) \geq -1, \forall x \) thì \( a = b = 0 \).

Giả sử \( f(x) \geq -1 \) cho mọi \( x \). Khi đó:
\[
\cos 4x + a \cos 2x + b \sin 2x \geq -1.
\]

Chúng ta lấy cực tiểu của \( \cos 4x \), tức là \(-1\). Khi \( \cos 4x = -1 \), ta có:
\[
-1 + a \cos 2x + b \sin 2x \geq -1,
\]
hay
\[
a \cos 2x + b \sin 2x \geq 0.
\]

Với \( \cos 2x \) và \( \sin 2x \) có thể thay đổi trong khoảng \([-1, 1]\), ta thấy rằng điều kiện này không thể thỏa mãn trừ khi \( a = 0 \) và \( b = 0\). Nếu không, sẽ có một số giá trị của \( \cos 2x \) và \( \sin 2x \) làm cho biểu thức âm.

Vậy ta có được điều cần chứng minh:
- Nếu \( f(x) \geq -1 \) với mọi \( x \), thì phải có \( a = 0 \) và \( b = 0 \).

Tóm lại, cả hai điều cần chứng minh đều được xác nhận:
1. \( f(x) \) nhận giá trị dương và âm với mọi \( a, b \).
2. Nếu \( f(x) \geq -1, \forall x \) thì \( a = b = 0 \).