Cho 3 + 3^2 + 3^3 + ... + 3^20. Chứng minh A chia hết cho 12

Để chứng minh rằng \( A = 3 + 3^2 + 3^3 + \ldots + 3^{20} \) chia hết cho 12, trước tiên ta có thể nhận thấy rằng đây là một cấp số nhân.

Công thức tính tổng của cấp số nhân là:

\[
S_n = a_1 \frac{q^n - 1}{q - 1}
\]

Trong trường hợp này, \( a_1 = 3 \), \( q = 3 \), và \( n = 20 \). Do đó, ta có:

\[
A = 3 \frac{3^{20} - 1}{3 - 1} = 3 \frac{3^{20} - 1}{2}
\]

Từ công thức trên, ta thấy:

\[
A = \frac{3^{21} - 3}{2} = \frac{3(3^{20} - 1)}{2}
\]

Bây giờ, chúng ta cần chứng minh \( A \) chia hết cho 12. Để làm được điều này, ta sẽ chứng minh rằng \( 3^{20} - 1 \) chia hết cho 8 và \( 3 \) chia hết cho 3.

1. **Chứng minh \( 3^{20} - 1 \) chia hết cho 8:**

Ta có \( 3^2 = 9 \equiv 1 \mod 8 \), vì vậy \( 3^{20} = (3^2)^{10} \equiv 1^{10} = 1 \mod 8 \). Như vậy,

\[
3^{20} - 1 \equiv 1 - 1 = 0 \mod 8
\]

Vậy \( 3^{20} - 1 \) chia hết cho 8.

2. **Chứng minh toàn bộ biểu thức \( A \) chia hết cho 12:**

Ta có \( A = \frac{3(3^{20} - 1)}{2} \).

Để chứng minh \( A \) chia hết cho 12, ta cần \( 3(3^{20} - 1) \) chia hết cho 24, vì \( 12 \times 2 = 24 \).

- Ta đã chứng minh \( 3^{20} - 1 \) chia hết cho 8. Từ đó, \( 3(3^{20} - 1) \) chia hết cho \( 3 \times 8 = 24 \).

- \( 3(3^{20} - 1) \) chia hết cho 3 (hiển nhiên).

Vì vậy cả \( 3 \) và \( 3^{20} - 1 \) đều chia hết cho 8 nên kết luận rằng \( A \) chia hết cho 12.

Và như vậy, ta đã chứng minh rằng tổng \( A \) chia hết cho 12.