Một nhà sản xuất muốn thiết kế một chiếc hộp có dạng hình hộp chữ nhật không có nắp, có đáy là hình vuông cạnh x (cm), chiều cao h và diện tích bề mặt bằng 108 (cm^2) như hình dưới đây

Để giải bài toán này, ta cần xác định chiều cao \( h \) của chiếc hộp nhằm tối ưu diện tích bề mặt.

### Thông tin đã cho:
- Chiếc hộp có hình dạng chữ nhật không có nắp với đáy hình vuông cạnh \( x \) (cm).
- Diện tích bề mặt \( S \) bằng 108 (cm²).

### Công thức diện tích bề mặt:
Diện tích bề mặt của chiếc hộp không có nắp được tính bằng công thức:
\[
S = x^2 + 4xh
\]
Trong đó:
- \( x^2 \) là diện tích đáy.
- \( 4xh \) là diện tích của bốn mặt bên.

### Thiết lập phương trình:
Ta có phương trình:
\[
x^2 + 4xh = 108
\]

### Giải phương trình:
Từ đó, ta có thể tính được \( h \):
\[
4xh = 108 - x^2
\]
\[
h = \frac{108 - x^2}{4x}
\]

### Tối ưu hóa diện tích:
Để tối ưu hóa diện tích, ta cần tính diện tích \( A \) của hộp:
\[
A = x^2 + 4xh = 108
\]

Ta cần tìm giá trị \( h \) sao cho diện tích \( A \) là lớn nhất. Để giải bài này, ta có thể thay \( h \) vào trong biểu thức và khảo sát hàm số để tìm cực trị.

### Tính đạo hàm:
Tính hàm A theo x và sau đó lấy đạo hàm để tìm điểm cực trị, nhưng đề bài chưa yêu cầu tìm tối đa.

Tùy thuộc vào định lý có sẵn, chiều cao \( h \) tối ưu thường nằm trong một khoảng giá trị xác định. Bạn có thể khảo sát giá trị này qua việc thử nghiệm với một số giá trị \( x \).

### Kết luận:
Thực hiện khảo sát hoặc tính toán thêm có thể tìm ra giá trị \( x \) một cách chính xác. Sau đó tôi có thể giúp bạn tiếp tục xác định \( h \) với các giá trị của \( x \) cho đến khi bạn đạt được diện tích lớn nhất.