Để chứng minh rằng \( A < 14 \), ta sẽ xem xét tổng \( A \):

\[
A = \sum_{n=1}^{100} \frac{(-1)^{n-1} n}{3^n}
\]

Ta có thể phân tích tổng này như sau:

1. **Sử dụng tích phân để đánh giá tổng**: Tính một tổng tương tự bằng cách sử dụng phương pháp chia sẻ. Đặt

\[
S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{x^n}
\]
với \( x = 3 \). Ta có công thức cho tổng này:

\[
S = \frac{x}{(x-1)^2} \quad \text{(dùng cho } |x| > 1\text{)}
\]

Do đó,

\[
S = \frac{3}{(3-1)^2} = \frac{3}{4}
\]

2. **Biến đổi tổng \( A \)**:

Ta có thể viết tổng của \( A \) với dấu trừ:

\[
A = \sum_{n=1}^{100} \frac{(-1)^{n-1} n}{3^n} = \frac{1}{3} + \frac{2}{3^2} + \frac{3}{3^3} + \ldots - \left(\frac{4}{3^4} + \frac{5}{3^5} + \ldots + \frac{100}{3^{100}}\right)
\]

3. **Sử dụng công thức cho tổng vô hạn**:
Ta tính tổng vô hạn:

\[
S = \frac{S}{3} + \frac{1}{4}
\]

4. **Giải phương trình**:

Giải phương trình \( S = \frac{1/3}{(1 + 1/3)^2} = \frac{1/3}{(4/3)^2} = \frac{1}{4} \).

5. **Tính A**:

\[
A < S = \frac{1}{4}
\]

Với các bước trên, ta đã chỉ ra rằng \( A < \frac{1}{4} \) và do đó \( A < 14 \).

Vậy \( A < 14 \) được chứng minh.