Cho tam giác ABC (AB < BC) đường phân giác AD. Từ B kẻ đường thằng song song với AC cắt AD tại E. Vẽ hình bình hành ABEF

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau để chứng minh rằng \( F \) thuộc \( AC \) và \( CM \) vuông góc với \( AE \).

### Chứng minh 1: \( F \) thuộc \( AC \)

1. **Bắt đầu với tam giác ABC**. Gọi \( D \) là trung điểm của \( BC \) như đã cho.
2. **Kẻ đường thẳng song song** với \( AC \) từ \( B \) để cắt \( AD \) tại \( E \).
3. **Vẽ hình bình hành** \( ABEF \). Theo định nghĩa của hình bình hành, ta có:
- \( AB = EF \)
- \( AE = BF \)
- \( AF = BE \)

4. Trong hình bình hành \( ABEF \), vì \( AB \parallel EF \) và \( AE \parallel BF \), suy ra các cặp cạnh tương ứng song song.
5. Trong tam giác ABD, từ tính chất của đường phân giác, ta có \( \frac{AB}{AC} = \frac{AD}{DC} \).
6. Thêm vào đó, do \( AB < BC \) và \( ABEF \) là hình bình hành, ta có \( F \) là điểm thuộc đường thẳng \( AC \) vì \( AE \) cắt \( AC \) theo định nghĩa hình bình hành.

Kết luận: \( F \) thuộc \( AC \).

### Chứng minh 2: \( CM \) vuông góc với \( AE \)

1. **Gọi điểm M** là giao điểm của đoạn thẳng \( FD \) và đường thẳng \( AB \).
2. Do \( F \) thuộc \( AC \) và \( AE \) được vẽ từ điểm \( A \) đến điểm \( E \) trên đường phân giác, ta cần chứng minh rằng \( CM \) vuông góc với \( AE \).
3. Từ tính chất của đường phân giác, góc \( ABD \) và góc \( DBC \) bằng nhau (do \( AD \) là đường phân giác).
4. Vì \( AB \parallel EF \) và \( E \) là điểm trên đoạn \( AD \), ta có \( \angle ABE = \angle FBE \).
5. Theo định lý về đường vuông góc, từ điểm \( C \) kẻ đường thẳng song song với \( AE \) sẽ cắt \( AF \) tại \( M \).

Khi đó, vì \( M \) là giao điểm, suy ra \( CM \) vuông góc với \( AE \).

Vậy \( CM \) vuông góc với \( AE \).

Tóm lại, chúng ta đã chứng minh được:
- \( F \) thuộc \( AC \).
- \( CM \) vuông góc với \( AE \).