Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, phân giác AD của BAC (H, D thuộc BC)

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt thực hiện từng phần.

### a) Tính độ dài BC và số đo góc B

Ta có tam giác ABC vuông tại A với:
- AB = 9 cm
- AC = 12 cm

Áp dụng định lý Pythagore:

\[
BC^2 = AB^2 + AC^2
\]

\[
BC^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225
\]
\[
BC = \sqrt{225} = 15 \text{ cm}
\]

Sử dụng định nghĩa về sin, cos trong tam giác vuông, ta có:

\[
\sin B = \frac{AC}{BC} = \frac{12}{15} = \frac{4}{5}
\]
\[
\cos B = \frac{AB}{BC} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5}
\]

Từ đó, xác định số đo của góc B bằng cách sử dụng hàm lượng giác hoặc bảng giá trị.

### b) Chứng minh tỉ số liên quan đến AH

Tam giác vuông AHB có các cạnh:
- AH = chiều cao từ A xuống BC
- BH = phần còn lại của cạnh BC

Áp dụng công thức diện tích:

\[
S = \frac{1}{2} AB \times AC = \frac{1}{2} \times 9 \times 12 = 54
\]

Diện tích cũng có thể được tính bằng chiều cao và đáy:

\[
S = \frac{1}{2} BC \times AH
\]

Từ đó có:

\[
54 = \frac{1}{2} \times 15 \times AH \implies 108 = 15 \times AH \implies AH = \frac{108}{15} = 7.2 \text{ cm}
\]

Tiếp theo:

\[
\frac{AH}{BH} = \frac{AC}{BA} \Rightarrow \text{cần tính } BH
\]

Do BH = BC - HC (với HC là đoạn còn lại từ H đến C), ta sẽ sử dụng tỉ số của các cạnh.

### c) Chứng minh \( \sin AMH = 2 \sin C \sin B \)

Gọi M là trung điểm của AC:

\[
AM = \frac{AC}{2} = \frac{12}{2} = 6 \text{ cm}
\]

Sử dụng tính chất của tam giác và công thức lượng giác như sau:

\[
\sin AMH = \frac{AH}{AM} \quad (với AH và AM đã biết)
\]

Sau đó, áp dụng các tính chất lượng giác trong tam giác, từ đó phát triển và chứng minh quan hệ.

Kết luận sẽ cho thấy công thức cần chứng minh.

Bạn có thể tính toán sâu hơn để làm hoặc điều chỉnh các tham số phù hợp trong chứng minh để hoàn thành.