Để chứng minh rằng bốn điểm \(A\), \(E\), \(H\), \(F\) thuộc một đường tròn, ta có thể sử dụng định lý về đường tròn ngoại tiếp tứ giác.

Đầu tiên, ta nhận thấy rằng:

- \(H\) là điểm đồng quy của ba đường cao của tam giác \(ABC\).
- \(AD\) là đường cao từ đỉnh \(A\), cắt cạnh \(BC\) tại \(D\).
- \(BE\) là đường cao từ đỉnh \(B\), cắt cạnh \(AC\) tại \(E\).
- \(CF\) là đường cao từ đỉnh \(C\), cắt cạnh \(AB\) tại \(F\).

Theo tính chất của các đường cao trong tam giác (\(ABC\)), ta có rằng các góc \( \angle AHB\), \( \angle BHE\), và \( \angle AHE\) là các góc vuông:

- \( \angle AHB = 90^\circ\) (bởi vì \(AD\) vuông góc với \(BC\))
- \( \angle BHE = 90^\circ\) (bởi vì \(BE\) vuông góc với \(AC\))
- \( \angle AHE = 90^\circ\) (bởi vì \(CF\) vuông góc với \(AB\))

Vì \(H\) là trọng tâm của các đường cao, điều này chỉ ra rằng:

- \( \angle AHF = 90^\circ\)
- \( \angle BEH = 90^\circ\)
- \( \angle CFH = 90^\circ\)

Giờ, ta xét tứ giác \(AEHF\). Theo định nghĩa và tính chất của các góc, ta có:
- \( \angle AEF + \angle AHF = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ\)

Điều này có nghĩa rằng tổng các góc đối diện trong tứ giác \(AEHF\) bằng 180 độ. Do đó, bốn điểm \(A\), \(E\), \(H\), \(F\) nằm trên cùng một đường tròn, theo định lý về tứ giác ngoại tiếp.

Vậy, ta có thể kết luận rằng:

***Bốn điểm \(A\), \(E\), \(H\), \(F\) thuộc một đường tròn.***