Để tìm giá trị lớn nhất \(M\) và giá trị nhỏ nhất \(m\) của hàm số \(y = 2 \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) - 5\), ta thực hiện các bước sau:

1. **Tìm giá trị của hàm sin**: Hàm số \(\sin(t)\) có giá trị trong khoảng \([-1, 1]\). Do đó:

\[
-1 \leq \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) \leq 1
\]

2. **Biến đổi hàm số**: Nhân tất cả các phần của bất đẳng thức với \(2\) (không thay đổi chiều bất đẳng thức):

\[
-2 \leq 2 \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) \leq 2
\]

3. **Cộng với \(-5\)** (thay đổi chiều bất đẳng thức):

\[
-2 - 5 \leq 2 \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) - 5 \leq 2 - 5
\]

\[
-7 \leq y \leq -3
\]

4. **Xác định giá trị lớn nhất và nhỏ nhất**: Từ đây ta có:

- Giá trị lớn nhất \(M = -3\)
- Giá trị nhỏ nhất \(m = -7\)

5. **Tính giá trị của \(T = M - m\)**:

\[
T = M - m = -3 - (-7) = -3 + 7 = 4
\]

Vậy kết quả cuối cùng là:

\[
T = 4
\]

**Đáp án: C. \(T = 4\)**.