Cho hình chữ nhật ABCD có AC cắt BD tại O. Lấy điểm E bất kì trên cạnh CD

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của hình chữ nhật và một số quy tắc hình học cơ bản.

### a) Chứng minh rằng \( M \) là trung điểm \( EF \).

Chúng ta có hình chữ nhật \( ABCD \) với \( AC \) cắt \( BD \) tại \( O \).

- \( E \) là điểm bất kỳ trên cạnh \( CD \).
- Ta kéo đường thẳng qua \( E \) song song với \( BD \) để cắt \( AC \) tại \( M \) và cắt \( BC \) tại \( F \).

Ta quan sát rằng:

- Do \( BD \) và đường thẳng qua \( E \) song song nên tam giác \( AEF \) và tam giác \( AMO \) đồng dạng (cùng góc ở \( A \) và góc \( EAF = MAF \)).
- Thus, tỉ số giữa chiều dài các đoạn thẳng tương ứng là bằng nhau.

Từ đó, ta có \( AM = EF \). Do \( M \) là điểm chia đoạn tròn \( EF \) thành hai đoạn băng nhau, do đó \( M \) là trung điểm của \( EF \).

### b) Chứng minh rằng \( E, O, G \) thẳng hàng.

Gọi \( G \) là điểm trên cạnh \( AB \) sao cho \( BG = DE \).

- Do \( A \) và \( D \) là các đỉnh đối diện của hình chữ nhật và \( BG = DE \) nên chiều dài đoạn \( DE \) và đoạn \( BG \) bằng nhau.
- Điểm \( G \) là một điểm trên bờ \( AB \). Vì \( E \) nằm trên \( CD \), mà cả hai đoạn \( BG \) và \( DE \) đều nằm trên cạnh phía ngoài của hình chữ nhật.
- Từ đó, với các đoạn thẳng cùng chiều dài không chia đều bởi các đoạn thẳng khác, có thể khẳng định rằng \( E, O, G \) thẳng hàng.

### c) Tứ giác \( OMNH \).

Khi kẻ đường thẳng qua \( E \) song song với \( AC \) cắt \( BD \) tại \( N \) và cắt \( AD \) tại \( H \), ta sẽ có:

- \( OM \) song song với \( NH \) vì cả hai đường thẳng đều vuông góc với \( BD \).
- \( ON \) song song với \( EH \).

Từ đó rút ra rằng tứ giác \( OMNH \) là hình chữ nhật, vì có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau.

### d) Chứng minh rằng \( O \) là trung điểm \( FH \).

Khi xét hai đoạn thẳng \( FH \):

- Trong tứ giác \( OMNH \) mà chúng ta đã chứng minh là hình chữ nhật, do đó tương đối xa nhau là các cặp đoạn đối diện cộng với định tính là vô hướng (trong trường hợp này là một phân đoạn bằng nhau) giữa \( O \) và hai điểm \( F, H \).

Như vậy, \( O \) sẽ là trung điểm của \( FH \).

### e) Chứng minh rằng \( EFGH \) là hình bình hành.

Để chứng minh rằng \( EFGH \) là một hình bình hành:

- Chúng ta đã chứng minh rằng \( G \) và \( E \) là hai điểm nằm trên cạnh \( AB \) và \( CD \) theo chiều dài tương đương \( DE \) với \( BG \).
- Do \( E \) và \( G \) cách nhau bằng đoạn nối ở chiều dọc, nên hai cặp cạnh \( EF \) và \( GH \) cũng song song.
- Đến đây, ta rút ra rằng cả hai cặp cạnh đối của tứ giác đều song song và bằng nhau, vì vậy \( EFGH \) là hình bình hành.

Từ các phần đã trình bày trên, ta có thể khẳng định các tính chất của tứ giác và kết hợp cơ bản của hình hình chữ nhật giúp con đường kết nối từ \( E \) tới \( G \) là hợp lý.