Để tìm giá trị lớn nhất \( M \) của biểu thức

\[
P = 4\sin^2 x + \sqrt{2} \sin\left(2x + \frac{\pi}{4}\right),
\]

ta sẽ làm như sau:

1. Ta biết rằng \(\sin(2x + \frac{\pi}{4})\) có thể viết lại bằng công thức tổng:

\[
\sin(2x + \frac{\pi}{4}) = \sin(2x)\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + \cos(2x)\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} (\sin(2x) + \cos(2x)).
\]

2. Thay vào biểu thức \( P \):

\[
P = 4\sin^2 x + \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} (\sin(2x) + \cos(2x)) = 4\sin^2 x + (\sin(2x) + \cos(2x)).
\]

3. Qua công thức, ta có:

\[
\sin(2x) = 2\sin x \cos x.
\]

4. Đặt \( y = \sin x \), \( P \) có dạng:

\[
P = 4y^2 + (2y\sqrt{1-y^2} + \sqrt{1-y^2}).
\]

5. Bây giờ ta có thể phân tích và tìm đạo hàm để xác định cực trị trong khoảng \([-1, 1]\) của \(\sin x\) để tìm ra \( M \).

6. Tuy nhiên, một cách đơn giản hơn là thử các giá trị cụ thể của \(\sin x\) trong khoảng \([0, 1]\) để tìm giá trị cực đại.

Sau khi thực hiện các bước trên và tính toán, giá trị lớn nhất \( M \) của biểu thức \( P \) là

\[
M \approx 5.
\]

Vì vậy, ta có thể kết luận rằng giá trị lớn nhất \( M \) là \( 5 \) (làm tròn đến một chữ số thập phân).