Để tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức \( M \) và \( N \), ta sẽ phân tích từng biểu thức một.

### a) \( M = |x - 10| + |x - 11| + |x - 12| + |x - 13| \)

Đây là tổng các khoảng cách từ \( x \) đến các số 10, 11, 12, và 13.

- Chúng ta có thể nhận thấy rằng giá trị nhỏ nhất của \( M \) sẽ đạt được tại giá trị trung bình (trung vị) của các số này, tức là \( 11 \) (số ở giữa 10, 11, 12, và 13).

- Tính \( M \) tại \( x = 11 \):

\[
M(11) = |11 - 10| + |11 - 11| + |11 - 12| + |11 - 13| = 1 + 0 + 1 + 2 = 4
\]

Do đó, \( M \) đạt giá trị nhỏ nhất là \( 4 \).

### b) \( N = |x - 1| + |x - 2| + |x - 3| + \ldots + |x - 2000| \)

Tương tự, đây là tổng khoảng cách từ \( x \) đến các số nguyên từ 1 đến 2000.

- Giá trị nhỏ nhất của \( N \) cũng dự đoán rằng sẽ đạt được tại giá trị trung bình (trung vị) của các số từ 1 đến 2000, tức là \( 1000.5 \) (do có 2000 số).

- Tính \( N \) tại \( x = 1000 \) hoặc \( x = 1001 \):

1. \( N(1000) = |1000 - 1| + |1000 - 2| + \ldots + |1000 - 2000| \)
- Với 999 số từ 1 đến 999: \( 999 \)
- Từ 1000 đến 2000: \( 1000, 1001, \ldots, 1000 \) đến \( 2000 \) có khoảng cách là \( 1000 \)

Tổng cộng: \( 999 + (1 + 2 + \ldots + 1000) = 999 + \frac{1000(1001)}{2} = 999 + 500500 = 501499 \)

2. \( N(1001) \):
- Với 1001: \( 1000, 999, \dots \)
- Tương tự tính như trên, tổng có thể tính bằng cách tương tự và sẽ được như biểu thức trên.

Do đó, giá trị nhỏ nhất của \( N \) đạt được là tại \( N(1000) = 501499 \).

### Kết luận:
- \( M_{\text{min}} = 4 \)
- \( N_{\text{min}} = 501499 \)