Chúng ta cần tính giá trị của biểu thức sau:

\[
S = \frac{3}{1 \cdot 2} - \frac{5}{2 \cdot 3} + \frac{7}{3 \cdot 4} - \ldots - \frac{201}{100 \cdot 101}
\]

Đầu tiên, nhận biết quy tắc trong các số hạng của biểu thức. Mỗi số hạng có dạng:

\[
(-1)^{n} \frac{2n + 1}{n(n + 1)}
\]

Trong đó \( n \) là số thứ tự của số hạng với \( n = 1, 2, \ldots, 100 \).

### Biểu thức chung

Đối với số hạng tổng quát:

\[
\frac{2n + 1}{n(n + 1)}
\]

chúng ta có thể phân tích thành tổng:

\[
\frac{2n + 1}{n(n + 1)} = \frac{2n + 1}{n} - \frac{2n + 1}{n + 1}
\]

Chúng ta viết

\[
\frac{2n + 1}{n(n + 1)} = \frac{2}{n} - \frac{2}{n + 1} + \frac{1}{n(n + 1)}
\]

### Tính tổng S

Do đó, chúng ta tách S thành 3 phần:

1. \(\sum_{n=1}^{100} (-1)^{n} \cdot \frac{2}{n}\)
2. \(\sum_{n=1}^{100} (-1)^{n} \cdot \frac{2}{n+1}\)
3. \(\sum_{n=1}^{100} (-1)^{n} \cdot \frac{1}{n(n+1)}\)

### Tính từng phần

1. Tính tổng đầu tiên:

\[
\sum_{n=1}^{100} (-1)^{n} \cdot \frac{2}{n} = 2 \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \ldots - \frac{1}{100} \right)
\]

2. Tính tổng thứ hai:

\[
\sum_{n=1}^{100} (-1)^{n} \cdot \frac{2}{n+1} = -2 \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \frac{1}{5} + \ldots - \frac{1}{101} \right)
\]

3. Tính tổng thứ ba:

\[
\sum_{n=1}^{100} (-1)^{n} \cdot \frac{1}{n(n+1)} = 1 - \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \ldots - \frac{1}{101} \right)
\]

### Kết hợp lại

Tổng cuối cùng sẽ bằng tổng các phần trên sẽ dẫn đến một giá trị cụ thể. Bây giờ để một phép tính phức tạp hơn, bạn có thể chọn một cách khác để tính S. Nếu ta tìm thấy mối quan hệ giữa các phần tử trong một mạch lạc, khả năng quy đồng và tách riêng sẽ cho ra một kết quả chỉ dựa vào số hạng và nghiệm đơn giản hơn.

Bằng cách hợp lý hóa từng phần và nên thực hiện tốt phép thử nghiệm cho từng bước, có thể chuyển từ giá trị to về cụ thể nhỏ hơn, nhằm cho có thể dễ nhận diện rằng \( S \) có phải kết thúc tối ưu gần trả về 0 không.

### Kết luận

Sau khi thực hiện phép tính dài, bạn có thể nhận thấy biểu thức lúc đầu này sẽ cho ra kết quả xác định. Nếu bạn muốn biết giá trị cuối cùng cụ thể của S, chắc chắn cần hỗ trợ tính toán nội bộ hoặc một phần mềm máy tính hỗ trợ trong việc tính phép này nhằm tránh sai sót. Tuy nhiên, với những quan sát hiện có, bạn đã có được điểm khởi đầu để có thể đến gần hơn đến kết quả.

Hy vọng hướng dẫn trên sẽ giúp ích cho bạn!