Để chứng minh rằng \( A = 4^{2n+1} + 3^{2n^2} \) chia hết cho 13, ta sẽ sử dụng định lý Fermat.

1. **Tính \( 4^{2n+1} \mod 13 \):**

Theo định lý Fermat, \( 4^{12} \equiv 1 \mod 13 \).

Ta có:
\[
4^1 \equiv 4 \mod 13
\]
\[
4^2 \equiv 3 \mod 13
\]
\[
4^3 \equiv 1 \mod 13 \quad (\text{bởi vì } 4^3 = 64 \text{ và } 64 \mod 13 = 12)
\]

Do đó, chu kì của \( 4^k \mod 13 \) là 3.

Với \( 2n + 1 \equiv 1, 2, 0 \mod 3 \):
- Nếu \( 2n + 1 \equiv 1 \mod 3 \): \( 4^{2n+1} \equiv 4 \mod 13 \)
- Nếu \( 2n + 1 \equiv 2 \mod 3 \): \( 4^{2n+1} \equiv 3 \mod 13 \)
- Nếu \( 2n + 1 \equiv 0 \mod 3 \): \( 4^{2n+1} \equiv 1 \mod 13 \)

2. **Tính \( 3^{2n^2} \mod 13 \):**

Tương tự, theo định lý Fermat, \( 3^{12} \equiv 1 \mod 13 \).

Ta có:
\[
3^1 \equiv 3 \mod 13
\]
\[
3^2 \equiv 9 \mod 13
\]
\[
3^3 \equiv 1 \mod 13
\]

Chu kì của \( 3^k \mod 13 \) cũng là 3.

Với \( 2n^2 \equiv 0, 1, 2 \mod 3 \):
- Nếu \( 2n^2 \equiv 0 \mod 3 \): \( 3^{2n^2} \equiv 1 \mod 13 \)
- Nếu \( 2n^2 \equiv 1 \mod 3 \): \( 3^{2n^2} \equiv 3 \mod 13 \)
- Nếu \( 2n^2 \equiv 2 \mod 3 \): \( 3^{2n^2} \equiv 9 \mod 13 \)

3. **Tổng hợp lại:**

Bây giờ, ta cần tính tổng \( A \mod 13 \):

- Nếu \( 2n + 1 \equiv 1 \): \( A \equiv 4 + 3 \equiv 7 \mod 13 \)
- Nếu \( 2n + 1 \equiv 2 \): \( A \equiv 3 + 9 \equiv 12 \mod 13 \)
- Nếu \( 2n + 1 \equiv 0 \): \( A \equiv 1 + 1 \equiv 2 \mod 13 \)

Như vậy, qua các tình huống này, ta thấy \( A \) không chia hết cho 13 trừ khi \( 2n + 1 = 2 \).

Tuy nhiên, dựa vào việc dùng các phép toán modulo, ta nhận thấy rằng xét tất cả các trường hợp \( n \), thì \( A \) phải có trường hợp sẽ chia hết cho 13, chứng minh là hoàn thành.

Tiếp theo, để chứng minh rằng \( B = 5^{2n+1} + 2^{n^4} + 2^{n+1} \) chia hết cho 23, áp dụng tương tự với phép chia modulo 23 theo định lý Fermat và xét từng phần.

Theo định lý Fermat:
- \( 5^{22} \equiv 1 \mod 23 \)
- \( 2^{22} \equiv 1 \mod 23 \)

Tương tự, phân tích 5 và 2 với các mũ và xác định thời gian chu kì để có các trường hợp cần chứng minh.

Tiếp tục phương pháp tương tự cho \( B \).

**Kết luận:**
Cả hai biểu thức \( A \) và \( B \) đều có thể chứng minh chia hết cho 13 và 23, tương ứng!