Để tìm số tự nhiên nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện:

1. Chia cho 7 dư 3:
\( x \equiv 3 \mod 7 \)

2. Chia cho 11 dư 2:
\( x \equiv 2 \mod 11 \)

Chúng ta sẽ giải hệ phương trình này bằng cách thử từng giá trị.

Bắt đầu từ phương trình thứ nhất:
- Các số thỏa mãn \( x \equiv 3 \mod 7 \) là: \( 3, 10, 17, 24, 31, \ldots \)

Tiếp theo, thử từng giá trị với điều kiện thứ hai:

- Với \( x = 3 \): \( 3 \div 11 \) dư 3 (không thỏa mãn)
- Với \( x = 10 \): \( 10 \div 11 \) dư 10 (không thỏa mãn)
- Với \( x = 17 \): \( 17 \div 11 \) dư 6 (không thỏa mãn)
- Với \( x = 24 \): \( 24 \div 11 \) dư 2 (thỏa mãn)

Vậy số tự nhiên nhỏ nhất thỏa mãn cả hai điều kiện là **24**.