Chứng minh các số sau không phải là số nguyên tố:

Chúng ta sẽ chứng minh từng số trong bài toán này không phải là số nguyên tố.

### a) \( M = 2^{2026} - 1 \)

Sử dụng định lý về số Mersenne:
- \( M = 2^n - 1 \) không phải là số nguyên tố nếu \( n \) không phải là số nguyên tố.
- Ở đây, \( 2026 \) không phải là số nguyên tố (vì \( 2026 = 2 \times 1013 \)).
- Do đó, \( M \) không phải là số nguyên tố.

### b) \( N = 2^{4024} + 5 \)

Ta thử tính \( N \) modulo 5:
- \( 2^{4024} \) modulo 5:
- Chu kỳ của \( 2^k \) modulo 5 là 4: \( 2^1 \equiv 2, 2^2 \equiv 4, 2^3 \equiv 3, 2^4 \equiv 1 \).
- \( 4024 \mod 4 = 0 \) nên \( 2^{4024} \equiv 1 \mod 5 \).
- Vậy, \( N \equiv 1 + 5 \equiv 1 \mod 5 \).
- Do đó, \( N \) không chia hết cho 5, nhưng không có thông tin nào khác mà chỉ ra rằng nó là số nguyên tố.

Chúng ta cũng có thể nhận thấy rằng \( N \) là số chẵn (vì \( 2^{4024} \) là chẵn và 5 là số lẻ). Vậy \( N \) lớn hơn 2 nên \( N \) cũng không phải là số nguyên tố.

### c) \( P = 2^{2023} + 3 \)

Ta thử kiểm tra \( P \) modulo 5:
- \( 2^{2023} \) modulo 5: \( 2023 \mod 4 = 3 \rightarrow 2^{2023} \equiv 3 \mod 5 \).
- Vậy \( P \equiv 3 + 3 \equiv 1 \mod 5 \).
- \( P \) không chia hết cho 5 nhưng không có thông tin để kết luận rằng nó là số nguyên tố.

Tuy nhiên, \( P \) là số lẻ và không có cách nào chỉ ra rằng nó là số nguyên tố.

### d) \( Q = 3^{2001} + 2 \)

Ta thử kiểm tra \( Q \) modulo 5:
- \( 3^{2001} \mod 5 \): Chu kỳ của \( 3^k \) modulo 5 là 4.
- \( 2001 \mod 4 = 1 \rightarrow 3^{2001} \equiv 3 \mod 5 \).
- Vậy, \( Q \equiv 3 + 2 \equiv 0 \mod 5 \).
- Điều này có nghĩa là \( Q \) chia hết cho 5 và lớn hơn 5, do đó \( Q \) không phải là số nguyên tố.

### Kết luận
- Tất cả các số \( M, N, P, Q \) đều không phải là số nguyên tố.