Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( A = |x+10| + |x+4| + |x-3| + |x-5| \), ta sẽ phân tích các điểm mà biểu thức thay đổi. Các điểm này được xác định từ các giá trị ở bên trong dấu giá trị tuyệt đối, cụ thể là \( -10, -4, 3, 5 \).

Các khoảng xem xét sẽ là:

1. \( (-\infty, -10) \)
2. \( [-10, -4) \)
3. \( [-4, 3) \)
4. \( [3, 5) \)
5. \( [5, \infty) \)

Ta sẽ tính giá trị của \( A \) trong từng khoảng.

1. **Khoảng \( (-\infty, -10) \)**:
\[
A = -(x+10) - (x+4) - (x-3) - (x-5) = -4x + 6
\]

2. **Khoảng \( [-10, -4) \)**:
\[
A = -(x+10) - (x+4) + (x-3) + (x-5) = -2x - 18
\]

3. **Khoảng \( [-4, 3) \)**:
\[
A = -(x+10) + (x+4) + (x-3) + (x-5) = 2x - 14
\]

4. **Khoảng \( [3, 5) \)**:
\[
A = -(x+10) + (x+4) + (x-3) - (x-5) = -2x + 12
\]

5. **Khoảng \( [5, \infty) \)**:
\[
A = (x+10) + (x+4) + (x-3) + (x-5) = 4x + 6
\]

Tiếp theo, ta tính giá trị của \( A \) tại các điểm phân chia:

- Tại \( x = -10 \):
\[
A = |0| + |6| + |13| + |15| = 0 + 6 + 13 + 15 = 34
\]

- Tại \( x = -4 \):
\[
A = |6| + |0| + |7| + |9| = 6 + 0 + 7 + 9 = 22
\]

- Tại \( x = 3 \):
\[
A = |13| + |7| + |0| + |2| = 13 + 7 + 0 + 2 = 22
\]

- Tại \( x = 5 \):
\[
A = |15| + |9| + |2| + |0| = 15 + 9 + 2 + 0 = 26
\]

Cuối cùng, ta so sánh các giá trị:
- \( A(-10) = 34 \)
- \( A(-4) = 22 \)
- \( A(3) = 22 \)
- \( A(5) = 26 \)

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức là \( \boxed{22} \).