Để chứng minh các đẳng thức trong bài này, ta sẽ làm từng phần một.

### a) Chứng minh \((x - y - z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 - 2xy + 2yz - 2zx\)

**Bước 1:** Mở rộng bên trái:

\[
(x - y - z)^2 = (x - (y + z))^2 = x^2 - 2x(y + z) + (y + z)^2
\]

**Bước 2:** Tiếp tục mở rộng:

\[
= x^2 - 2xy - 2xz + (y^2 + 2yz + z^2)
\]

**Bước 3:** Kết hợp tất cả lại:

\[
= x^2 + y^2 + z^2 - 2xy + 2yz - 2zx
\]

### b) Chứng minh \((x + y - z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2xy - 2yz - 2zx\)

**Bước 1:** Mở rộng bên trái:

\[
(x + y - z)^2 = (x + y)^2 - 2z(x + y) + z^2
\]

**Bước 2:** Mở rộng tiếp:

\[
= x^2 + 2xy + y^2 - 2zx - 2zy + z^2
\]

**Bước 3:** Kết hợp lại với các hạng tử:

\[
= x^2 + y^2 + z^2 + 2xy - 2yz - 2zx
\]

### c) Chứng minh \((x - y)(x^3 + x^2y^2 + xy^3 + y^3) = x^4 - y^4\)

**Bước 1:** Mở rộng bên trái:

\[
(x - y)(x^3 + x^2y^2 + xy^3 + y^3) = x(x^3 + x^2y^2 + xy^3 + y^3) - y(x^3 + x^2y^2 + xy^3 + y^3)
\]

**Bước 2:** Tính từng hạng tử:

\[
= x^4 + x^3y^2 + x^2y^3 + xy^3 - (yx^3 + yx^2y^2 + yxy^3 + y^4)
\]
\[
= x^4 - y^4
\]

### d) Chứng minh \((x + y)(x^4 - x^3y + x^2y^2 - xy^3 + y^4) = x^5 + y^5\)

**Bước 1:** Mở rộng bên trái:

\[
= x(x^4 - x^3y + x^2y^2 - xy^3 + y^4) + y(x^4 - x^3y + x^2y^2 - xy^3 + y^4)
\]

**Bước 2:** Tính từng hạng tử:

\[
= x^5 - x^4y + x^3y^2 - x^2y^3 + xy^4 + yx^4 - yx^3y + yx^2y^2 - yxy^3 + y^5
\]
\[
= x^5 + y^5
\]

Như vậy, qua các bước trên, ta đã chứng minh thành công các đẳng thức lần lượt từ a) đến d).