Chứng minh các đẳng thức trong bài 12 sẽ giúp bạn củng cố kiến thức về đại số và tính chất của các đa thức. Dưới đây là hướng dẫn chứng minh các đẳng thức:

### a) \( (x - y)(x^4 + x^3y + x^2y^2 + xy^3 + y^4) = x^5 - y^5 \)

**Chứng minh:**
Sử dụng định lý phân tích đa thức bậc 5:
- Cụ thể, \( x^5 - y^5 = (x - y)(x^4 + x^3y + x^2y^2 + xy^3 + y^4) \) là đúng.

### b) \( (a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3 \)

**Chứng minh:**
- Mở rộng bên trái:
\[
(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a(a^2 - ab + b^2) + b(a^2 - ab + b^2) = a^3 - a^2b + ab^2 + ba^2 - b^3
\]
- Gộp các hạng tử lại:
\[
= a^3 + b^3
\]
Do vậy, đẳng thức là đúng.

### c) \( (x - 1)(x^2 - x + 1) = x^3 - 1 \)

**Chứng minh:**
- Mở rộng bên trái:
\[
(x - 1)(x^2 - x + 1) = x^3 - x^2 + x - (x^2 - x + 1) = x^3 - 1
\]
Đẳng thức là đúng.

### d) \( (x^2 + x^2y + y^2)(x - y) = x^3 - y^3 \)

**Chứng minh:**
- Sử dụng định lý phân tích tương tự:
\[
x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)
\]
Chúng ta có thể thấy rằng bên trái và bên phải là cùng một biểu thức.

Tóm lại, tất cả các đẳng thức trên đều đã được chứng minh.