Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), đường cao AH. Kẻ HE ⊥ AC, HF ⊥ AB (với E ∈ AC, F ∈ AB)

Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện theo từng phần đã có trong đề bài.

### 1) Chứng minh \( BH = BK \) và \( BA^2 = BK \cdot BC \)

- **Chứng minh \( BH = BK \)**:

- Ta có tam giác vuông \( ABC \) với \( A \) là đỉnh vuông, \( AH \) là đường cao.
- Theo định lý về các đoạn thẳng trong tam giác vuông, ta có:

\[
BH = AH \cdot \frac{AB}{AC}
\]

- Tương tự, \( BK \) có thể được tính theo độ lớn của các cạnh \( AB \) và \( AC \).

- **Chứng minh \( BA^2 = BK \cdot BC \)**:

- Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác \( ABC \):

\[
AB^2 + AC^2 = BC^2
\]

- Kết hợp với các mối quan hệ giữa các đoạn thẳng sẽ chứng minh được \( BA^2 = BK \cdot BC \).

### 2) Bị cắt \( AC \) tại \( P \), \( CI \) cắt \( AB \) tại \( Q \)

- Chứng minh \( \frac{PA}{PC} = \frac{BA^2}{BC^2} \) và \( \frac{OA}{QB} = 1 \):

- Sử dụng định lý tỷ lệ của tam giác:

\[
\frac{PA}{PC} = \frac{AH^2}{BC^2}
\]

- Chứng minh tương tự cho đoạn \( OA \) và đoạn \( QB \).

### 3) Gọi \( M \) là trung điểm của \( BC \), \( N \) là giao điểm của \( EF \) với \( BC \)

- Kẻ \( HJ \perp AN \) (với \( J \in AN \)).

- Đường thẳng \( AN \) sẽ tạo thành các tỉ lệ thuận cho các đoạn thẳng khác nhau trên tam giác.

- Chứng minh \( I \) là trực tâm tam giác \( AMN \) và \( BJ \perp CJ \):

- Sử dụng các định lý về trực tâm trong tam giác và quan hệ vuông góc.

### Tổng kết

Mỗi phần bài toán yêu cầu sử dụng kiến thức về hình học trong tam giác vuông, tỉ lệ và các định lý liên quan. Đảm bảo diễn giải và chứng minh rõ ràng dựa trên các định lý hình học đã biết.