Để chứng minh rằng điểm H thuộc đường tròn tâm O đường kính AB, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của hình học phẳng và một số định lý cơ bản.

Trước tiên, ta có:

- O là trung điểm của đoạn thẳng AB, tức là OA = OB.
- Theo định nghĩa, đường tròn tâm O đường kính AB có bán kính r = OA = OB.

Ta vẽ tia Ax và By vuông góc với AB. Giả sử C thuộc tia Ax và D thuộc tia By sao cho \(\angle COD = 90^\circ\).

### Bước 1: Sử dụng hệ trục tọa độ.

Để dễ dàng tính toán, ta đặt A và B trên trục x:

- A(−a, 0)
- B(a, 0)

Vậy O(0, 0).

Tại điểm C trên tia Ax, ta có:

- C(0, b) với \(b > 0\)

Tại điểm D trên tia By, với \(D(k, 0)\) (tại y=0).

### Bước 2: Tính toán và hệ quả.

Vì \( \angle COD = 90^\circ\), ta có:

\[
\overrightarrow{OC} \cdot \overrightarrow{OD} = 0
\]

Khi đó, \(\overrightarrow{OC} = (0, b)\) và \(\overrightarrow{OD} = (k, 0)\). Vậy \(0 \cdot k + b \cdot 0 = 0\). Điều này luôn đúng.

### Bước 3: Kẻ OH vuông góc với CD.

OH vuông góc với CD. Ta cần xác định tọa độ của H dựa trên các vector CD. Để làm rõ, trước tiên tính tọa độ D:

Giả sử \(D = (x_D, y_D)\). Do điều kiện \(\angle COD = 90^\circ\), nên các vector tương ứng với C và D phải thoả mãn điều kiện vuông góc.

### Bước 4: Xác định tính chất của H.

Để H thuộc đường tròn tâm O đường kính AB, ta cần chứng minh rằng \(OH^2 = OA^2\).

- Tính khoảng cách OH:
\[
OH = \sqrt{x_H^2 + y_H^2}
\]
- Tính chính xác của \(OA\) hay \(OB\):
\[
OA = \frac{AB}{2} = a
\]

Vì H nằm trên đường thẳng OH vuông góc với CD và đoạn thẳng CD cắt đường tròn tại H, chứng minh rằng:

\[
OH^2 = OA^2
\]

### Bước 5: Định vị trí tương đối của CD.

Nếu H nằm trên đường tròn quanh O và AB là đường kính thì CD sẽ đi qua H. Nếu CD nằm hoàn toàn nằm trong nửa mặt phẳng chứa đường tròn, CD cắt đường tròn tại hai điểm, một trong số đó là H.

Nếu H không thuộc tròn thì CD đi ngoài.

### Kết luận.

- Nếu H là giao điểm trên đường tròn thì \(H \in O\).
- Nếu có một phần nằm trong thì CD cắt tại hai điểm.

Vậy, H thuộc đường tròn tâm O đường kính AB, và CD có thể cắt hoặc không cắt đường tròn tùy thuộc vị trí của C và D.