Để chứng minh tam giác \( \triangle ABC \) vuông và tính các góc cũng như độ dài \( AD \) và \( CD \), ta làm như sau:

### Bước 1: Chứng minh \( \triangle ABC \) vuông

Theo định lý Pythagore, nếu một tam giác có các cạnh \( a \), \( b \), và \( c \) (với \( c \) là cạnh huyền), thì tam giác vuông khi và chỉ khi:

\[
c^2 = a^2 + b^2
\]

Ở đây, ta có:

- \( AB = 4 \, cm \)
- \( AC = 3 \, cm \)
- \( BC = 5 \, cm \)

Ta kiểm tra:

\[
BC^2 = AB^2 + AC^2
\]

\[
5^2 = 4^2 + 3^2
\]

\[
25 = 16 + 9
\]

\[
25 = 25
\]

Vậy \( \triangle ABC \) là tam giác vuông tại \( A \).

### Bước 2: Tính các góc của \( \triangle ABC \)

Ta có thể tính các góc như sau:

1. **Góc \( A \)**:
\[
\tan A = \frac{AC}{AB} = \frac{3}{4}
\]
\[
A = \tan^{-1}\left(\frac{3}{4}\right) \approx 36.87^\circ
\]

2. **Góc \( B \)**:
\[
\tan B = \frac{AB}{AC} = \frac{4}{3}
\]
\[
B = \tan^{-1}\left(\frac{4}{3}\right) \approx 53.13^\circ
\]

3. **Góc \( C \)**:
\[
C = 90^\circ
\]

### Bước 3: Tính độ dài \( AD \) và \( CD \)

Từ điểm \( C \) kẻ đường thẳng vuông góc với \( BC \) cắt \( AB \) tại \( D \). Khi đó:

- \( AD \) là chiều cao từ \( C \) xuống cạnh \( AB \).

Sử dụng công thức tính diện tích của tam giác:

\[
S = \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times 4 \times 3 = 6 \, cm^2
\]

Đồng thời, diện tích cũng có thể tính bằng:

\[
S = \frac{1}{2} \times BC \times AD
\]

Vì vậy:

\[
6 = \frac{1}{2} \times 5 \times AD \implies AD = \frac{6 \times 2}{5} = \frac{12}{5} = 2.4 \, cm
\]

Tiếp theo, ta có thể tính độ dài \( CD \) dùng định lý Pythagore trong tam giác vuông \( ACD \):

\[
AC^2 = AD^2 + CD^2
\]

\[
3^2 = (2.4)^2 + CD^2
\]

\[
9 = 5.76 + CD^2 \implies CD^2 = 9 - 5.76 = 3.24
\]

Vậy:

\[
CD = \sqrt{3.24} \approx 1.8 \, cm
\]

### Kết quả

- Tam giác \( \triangle ABC \) vuông tại \( A \).
- Các góc của tam giác: \( A \approx 36.87^\circ \), \( B \approx 53.13^\circ \), \( C = 90^\circ \).
- Độ dài \( AD \approx 2.4 \, cm \) và \( CD \approx 1.8 \, cm \).