Để chứng minh rằng dãy số \( U_n = \frac{2n + 1}{2n} \) bị chặn, chúng ta cần tìm cận dưới và cận trên cho dãy này.

Trước tiên, ta có thể biến đổi dãy số \( U_n \) như sau:

\[
U_n = \frac{2n + 1}{2n} = \frac{2n}{2n} + \frac{1}{2n} = 1 + \frac{1}{2n}
\]

Bây giờ, chúng ta sẽ phân tích giới hạn của \( U_n \) khi \( n \) tăng lên:

- Khi \( n \to \infty \), \( \frac{1}{2n} \to 0 \), do đó:

\[
U_n \to 1 + 0 = 1
\]

- Để tìm gía trị nhỏ nhất của \( U_n \), ta thấy rằng \( \frac{1}{2n} \) luôn dương cho mọi \( n \geq 1 \). Do đó, \( U_n > 1 \) với mọi \( n \).

Vì vậy, ta có:

\[
1 < U_n < 2 \quad (\text{với } n \geq 1)
\]

Cụ thể, khi \( n = 1 \):

\[
U_1 = \frac{2 \cdot 1 + 1}{2 \cdot 1} = \frac{3}{2} = 1.5
\]

Khi \( n = 2 \):

\[
U_2 = \frac{2 \cdot 2 + 1}{2 \cdot 2} = \frac{5}{4} = 1.25
\]

Khi \( n = 3 \):

\[
U_3 = \frac{2 \cdot 3 + 1}{2 \cdot 3} = \frac{7}{6} \approx 1.1667
\]

Và dãy giá trị \( U_n \) sẽ ngày càng gần \( 1 \) hơn nhưng không bao giờ đi xuống dưới \( 1 \).

Vì vậy, ta kết luận rằng dãy số \( U_n \) bị chặn bởi các số 1 và 2. Do đó, dãy số \( U_n = \frac{2n + 1}{2n} \) là dãy số bị chặn.

Tóm lại, dãy số \( U_n \) bị chặn trong khoảng \( (1, 2) \).