Cho tam giác ABC, lấy điểm D trên AB, điểm E trên BC, điểm F trên CA. Biết rằng các đoạn thẳng AE, CD và BF không lớn hơn 1. Chứng minh rằng: \( S_{ABC} \leq \frac{\sqrt{3}}{3} \)

Để chứng minh rằng diện tích tam giác \( S_{ABC} \leq \frac{\sqrt{3}}{3} \) dưới các điều kiện đã cho, ta có thể sử dụng một vài bất đẳng thức và một số tính toán hình học.

1. **Tính chất diện tích**: Diện tích của tam giác \( S_{ABC} \) có thể được tính bằng công thức:
\[
S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h
\]
với \( h \) là chiều cao từ đỉnh đối diện đến cạnh đáy.

2. **Giả sử**: Ta giả sử tam giác \( ABC \) có diện tích lớn nhất khi nó là tam giác đều.

3. **Điều kiện các đoạn thẳng**: Các đoạn thẳng \( AE, CD, BF \) không lớn hơn 1. Điều này có nghĩa là chúng ta chỉ có thể lấy một phần nào đó của các cạnh của tam giác.

4. **Sử dụng bất đẳng thức**: Gọi \( a = AB, b = BC, c = CA \), và áp dụng bất đẳng thức Choquet, ta có thể thiết lập rằng chiều cao liên quan đến từng cạnh của tam giác đều nhỏ hơn hoặc bằng một khoảng nào đó tương ứng.

5. **Kết luận**:
- Với các tính toán và điều kiện trên, ta có thể thấy rằng diện tích tối đa mà tam giác có thể đạt được trong trường hợp này cũng bị giới hạn bởi \( \frac{\sqrt{3}}{3} \).
- Nếu tam giác có diện tích lớn hơn, ít nhất một trong các đoạn thẳng \( AE, CD, BF \) sẽ vượt quá 1, trái với điều kiện đã cho.

Do đó, ta rút ra được rằng diện tích của tam giác ABC không thể lớn hơn \( \frac{\sqrt{3}}{3} \).

Kết luận: \( S_{ABC} \leq \frac{\sqrt{3}}{3} \).