Để giải phương trình \( 4(2x+7)^2 - 9(x+3)^2 = 0 \), ta bắt đầu bằng cách phân tích từng vế.

1. **Nhân ra** các biểu thức trong phương trình:
\[
4(2x + 7)^2 = 4 \cdot (4x^2 + 28x + 49) = 16x^2 + 112x + 196
\]
\[
9(x + 3)^2 = 9 \cdot (x^2 + 6x + 9) = 9x^2 + 54x + 81
\]

2. **Thay lại vào phương trình**:
\[
16x^2 + 112x + 196 - (9x^2 + 54x + 81) = 0
\]

3. **Rút gọn** các hạng tử:
\[
(16x^2 - 9x^2) + (112x - 54x) + (196 - 81) = 0
\]
\[
7x^2 + 58x + 115 = 0
\]

4. **Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai**:
\[
ax^2 + bx + c = 0 \quad \text{với } a = 7, b = 58, c = 115
\]
Công thức tìm nghiệm:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

5. **Tính \(\Delta\)**:
\[
\Delta = b^2 - 4ac = 58^2 - 4 \cdot 7 \cdot 115
\]
Tính \(58^2\):
\[
58^2 = 3364
\]
Tính \(4 \cdot 7 \cdot 115\):
\[
4 \cdot 7 = 28 \quad \text{và} \quad 28 \cdot 115 = 3220
\]
Vậy:
\[
\Delta = 3364 - 3220 = 144
\]
Vì \(\Delta\) dương, phương trình có hai nghiệm phân biệt.

6. **Tính các nghiệm**:
\[
x = \frac{-58 \pm \sqrt{144}}{14} = \frac{-58 \pm 12}{14}
\]

- Nghiệm thứ nhất:
\[
x_1 = \frac{-58 + 12}{14} = \frac{-46}{14} = -\frac{23}{7}
\]

- Nghiệm thứ hai:
\[
x_2 = \frac{-58 - 12}{14} = \frac{-70}{14} = -5
\]

7. **Kết luận**:
Vậy, nghiệm của phương trình là:
\[
x_1 = -\frac{23}{7} \quad \text{và} \quad x_2 = -5
\]