Để giải bài toán này, ta sẽ thiết lập các hệ thức giữa \( x \), \( y \), và \( z \) trong tam giác vuông \( ABC \) với \( A \) là đỉnh vuông.

### a) Tìm hệ thức giữa \( x \), \( y \) và \( z \)

1. **Xác định các đoạn thẳng**:
- \( BD = x \)
- \( CD = y \)
- \( AE = z \)

2. **Sử dụng tính chất của đường tròn nội tiếp**:
- Trong tam giác vuông \( ABC \), đường tròn nội tiếp có tâm nằm trên đường cao hạ từ \( A \) và có bán kính là đoạn thẳng từ tâm đến cạnh \( BC \) (cạnh huyền).

Khi đó, ta có:
\[
z^2 = x \cdot y
\]
(từ định lý đường trung bình trong tam giác).

### b) Chứng minh: \( AB \cdot AC = 2 \cdot DB \cdot DC \)

1. **Diện tích của tam giác \( ABC \)**:
- Diện tích của tam giác vuông \( ABC \) là:
\[
S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC
\]

2. **Diện tích từ hai đoạn thẳng \( DB \) và \( DC \)**:
- Diện tích của tam giác \( ABC \) cũng có thể được tính dựa trên điểm \( D \):
\[
S = DB \cdot DC
\]

3. **Từ hai cách tính diện tích**:
- Ta có:
\[
\frac{1}{2} AB \cdot AC = DB \cdot DC
\]
Nhân cả hai vế với 2:
\[
AB \cdot AC = 2 \cdot DB \cdot DC
\]

Vậy, ta đã chứng minh được hệ thức yêu cầu trong bài toán.