Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện từng phần một.

### a) Chứng minh tứ giác ADHE là hình chữ nhật.

Trong tam giác vuông \( \triangle ABC \) với \( \angle A = 90^\circ \), theo định nghĩa của đường cao \( AH \), điểm \( H \) là chân đường cao từ \( A \) xuống cạnh \( BC \).

- Ta kẻ đường thẳng vuông góc từ \( H \) tới \( AB \) tại \( D \) và tới \( AC \) tại \( E \).
- Theo tính chất của đường cao trong tam giác vuông, ta có:
- \( AH \perp BC \)

Vì \( D \) và \( E \) là các điểm nằm trên các đường thẳng \( AB \) và \( AC \) lần lượt tại những vị trí mà đường thẳng \( H \) vuông góc với \( AB \) và \( AC \):

- Do đó, ta có:
- \( AD \perp AB \)
- \( AE \perp AC \)

- Vì \( AB \perp AC \) (do \( \triangle ABC \) vuông tại \( A \)), suy ra:
- \( AD \perp AE \) (thông qua tính chất của hai đường thẳng vuông góc)

Vậy tứ giác \( ADHE \) có 4 góc vuông, điều này cho thấy \( ADHE \) là hình chữ nhật.

### b) Tìm điều kiện của \( \triangle ABC \) để tứ giác \( ADHE \) là hình vuông.

Để tứ giác \( ADHE \) là hình vuông, không chỉ cần có 4 góc vuông mà cạnh đối diện cũng phải bằng nhau, nghĩa là phải có:

\[
AD = AE
\]

Trong tam giác vuông tại \( A \) với \( BD \) là đường thẳng vuông góc từ \( D \) tới \( AB \) và \( HE \) là đường thẳng vuông góc từ \( E \) tới \( AC \).

- \( AD = AH \cdot \sin(B) \)
- \( AE = AH \cdot \sin(C) \)

Do đó, điều kiện cần để tứ giác \( ADHE \) là hình vuông là:

\[
\sin(B) = \sin(C)
\]

Trong tam giác vuông, điều này chỉ xảy ra khi:

\[
B = C \quad \text{(có nghĩa là } \triangle ABC \text{ là tam giác cân tại A)}
\]

### c) Chứng minh \( HN \) là tia phân giác của \( \angle AHC \).

Giả sử \( M \) là điểm trên cạnh \( AC \) sao cho \( AM = AB \) và \( N \) là trung điểm của \( BM \).

Ta có:
\[
AB < AC \Rightarrow AM = AB < AC = AH + HC
\]

- Để chứng minh \( HN \) là tia phân giác của \( \angle AHC \), cần chứng minh rằng:

\[
\frac{AH}{HC} = \frac{AN}{NB}
\]

Vì \( N \) là trung điểm của \( BM \), nên:
\[
AN = NB
\]

Suy ra:
\[
\frac{AN}{NB} = 1
\]

Tuy nhiên, ta cần chứng minh tỉ lệ giữa \( AH \) và \( HC \). Theo định nghĩa của đường cao \( AH \):

- Ta đã biết rằng \( AH \) và \( HC \) nằm trên đường thẳng \( AC \), và có tỉ lệ nhất định với nhau.

Do đó, nếu \( H \) là chân đường cao thì có điều kiện đặc biệt về chiều dài này sao cho tỉ lệ giữa \( AH \) và \( HC \) cũng bằng tỷ lệ phát sinh khi kẻ tia phân giác.

Từ đây, \( HN \) sẽ vừa tách góc \( \angle AHC \) thành hai góc bằng nhau, và ta sẽ có được chứng minh cho câu c).

Vậy, ta đã hoàn thành tất cả các phần của bài toán.