Để xác định số lượng điểm \( D \) thỏa mãn điều kiện \( |\overline{AB}| = |\overline{CD}| \), ta cần xem xét các yếu tố hình học liên quan.

1. **Giả thiết**: \( \overline{AB} \neq \overline{0} \) có nghĩa là đoạn thẳng \( AB \) không có độ dài bằng 0.
2. **Điểm \( C \)** là một điểm cố định.
3. **Độ dài của đoạn thẳng**: \( |\overline{AB}| \) là độ dài của đoạn thẳng \( AB \), và \( |\overline{CD}| \) là độ dài của đoạn thẳng \( CD \).

Dựa vào điều kiện \( |\overline{AB}| = |\overline{CD}| \), ta thấy rằng điểm \( D \) có thể nằm trên một vòng tròn tâm \( C \) với bán kính bằng độ dài \( |\overline{AB}| \).

- Một vòng tròn có vô số điểm, nhưng thậm chí nếu không tính những điểm trùng nhau, số lượng điểm \( D \) mà chúng ta có thể tìm ra vẫn là vô số.

Kết luận, câu trả lời cho câu hỏi là:

**D. Vô số**.