Để chứng minh rằng \( a = b = c \) với điều kiện \( a + b + c = \sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ca} \), ta có thể làm như sau:

Bước 1: Đặt \( x = \sqrt{a} \), \( y = \sqrt{b} \), \( z = \sqrt{c} \). Khi đó, ta có:
\[
a = x^2, \quad b = y^2, \quad c = z^2.
\]
Thay vào phương trình, ta được:
\[
x^2 + y^2 + z^2 = xy + yz + zx.
\]

Bước 2: Sắp xếp lại phương trình này, ta có:
\[
x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx = 0.
\]
Điều này tương đương với:
\[
\frac{1}{2} \left( (x - y)^2 + (y - z)^2 + (z - x)^2 \right) = 0.
\]

Bước 3: Vì \( (x - y)^2 \), \( (y - z)^2 \), và \( (z - x)^2 \) đều không âm, nên tất cả các điều kiện này chỉ có thể đồng thời bằng 0 khi:
\[
x - y = 0, \quad y - z = 0, \quad z - x = 0.
\]
Điều này dẫn đến \( x = y = z \) hay \( \sqrt{a} = \sqrt{b} = \sqrt{c} \) và từ đó suy ra:
\[
a = b = c.
\]

Vậy ta đã chứng minh rằng nếu \( a + b + c = \sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ca} \), thì điều đó chỉ xảy ra khi \( a = b = c \).