Để giải quyết các bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng định lý cos và công thức diện tích tam giác.

### Câu 31: Tính góc BAC

Cho tam giác \( ABC \) với các cạnh:
- \( AB = a\sqrt{3} \)
- \( AC = a \)
- \( BC = \sqrt{7} \)

Áp dụng định lý cosine:
\[
BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(A)
\]
Thay vào:
\[
7 = (a\sqrt{3})^2 + a^2 - 2 \cdot a\sqrt{3} \cdot a \cdot \cos(A)
\]
\[
7 = 3a^2 + a^2 - 2a^2\sqrt{3}\cos(A)
\]
\[
7 = 4a^2 - 2a^2\sqrt{3}\cos(A)
\]
Giải phương trình để tìm \( \cos(A) \), sau đó tính góc \( A \).

### Câu 32: Tính diện tích tam giác ABC
Với:
- \( AB = 2 \, \text{cm} \)
- \( AC = 7 \, \text{cm} \)
- \( \angle B = 75^\circ \)

Công thức diện tích là:
\[
S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(B)
\]
\[
S = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 7 \cdot \sin(75^\circ)
\]
Tính giá trị gần nhất để tìm đúng đáp án.

### Câu 33: Tính khác biệt đối với \( A \)
Cho tam giác thoáng mảnh với \( \sin A = \sin B \), từ đó suy ra được một mối quan hệ giữa \( A \) và \( B \).

### Câu 34: Hình thang
Dựa vào dữ kiện trong bài và hình vẽ để xác định các cạnh và góc cần thiết. Cách tính độ dài, góc tương ứng từ hình thang kín, có thể sử dụng các định lý hình học phù hợp với hình dáng của tam giác hoặc hình thang.

### Câu 35: Tìm vị trí A
Giả sử chiều cao từ A đến đường MN và khoảng cách HB liên quan. Sử dụng công thức liên quan đến góc và chiều cao để tính toán khoảng cách cụ thể.

Nếu cần tính toán cụ thể cho mỗi câu hỏi, hãy cung cấp các giá trị để thực hiện.