Để giải bài tập này, ta sẽ lần lượt thực hiện các yêu cầu trong từng phần:

### Bài 1:

#### a) Chứng tỏ lúc \( m = 1 \), hệ phương trình có vô số nghiệm:

Xét hệ phương trình:

\[
\begin{cases}
mx - y = 1 \\
-x + y = -m
\end{cases}
\]

Thay \( m = 1 \):

\[
\begin{cases}
x - y = 1 \\
-x + y = -1
\end{cases}
\]

Biến đổi phương trình thứ hai ta có:

\[
x - y = 1
\]

Như vậy, cả hai phương trình trở thành:

\[
x - y = 1
\]

Hệ này có vô số nghiệm (cùng biểu thức), vì bất kỳ điểm nào trên đường thẳng \( y = x - 1 \) đều thỏa mãn.

#### b) Giải hệ với \( m = 2 \):

Thay \( m = 2 \):

\[
\begin{cases}
2x - y = 1 \\
-x + y = -2
\end{cases}
\]

Giải hệ:

Từ phương trình thứ hai:

\[
y = x - 2
\]

Thay vào phương trình thứ nhất:

\[
2x - (x - 2) = 1 \\
2x - x + 2 = 1 \\
x + 2 = 1 \\
x = -1
\]

Thay \( x = -1 \) vào \( y = x - 2 \):

\[
y = -1 - 2 = -3
\]

Vậy nghiệm là \( (x, y) = (-1, -3) \).

#### c) Tìm \( m \) để hệ có nghiệm \( (x,y) \) thỏa mãn \( x^2 + y^2 = 10 \):

Ta có hệ:

\[
\begin{cases}
mx - y = 1 \\
-x + y = -m
\end{cases}
\]

Biến đổi phương trình thứ hai ta có:

\[
y = x - m
\]

Thay vào phương trình thứ nhất:

\[
mx - (x - m) = 1 \\
mx - x + m = 1 \\
(m - 1)x + m = 1 \\
(m - 1)x = 1 - m \\
x = \frac{1 - m}{m - 1} \quad (m \neq 1)
\]

Từ đó, thay giá trị của \( x \) vào \( y \):

\[
y = \frac{1 - m}{m - 1} - m
\]

Kiểm tra điều kiện \( x^2 + y^2 = 10 \):

1. Tính \( x^2 \) và \( y^2 \) từ biểu thức trên, sau đó cộng lại và đặt bằng 10.
2. Giải phương trình bậc hai để tìm giá trị của \( m \).

### Bài 2:

#### a) Giải hệ phương trình với \( m = 1 \):

\[
\begin{cases}
-2mx + y = 5 \\
mx + 3y = 1
\end{cases}
\]

Thay \( m = 1 \):

\[
\begin{cases}
-2x + y = 5 \\
x + 3y = 1
\end{cases}
\]

Giải hệ phương trình này.

#### b) Giải và biện luận hệ phương trình theo số \( m \):

Chuyển đổi để có thể phân tích theo \( m \) tại mỗi bước.

#### c) Tìm \( m \) để hệ \( (x,y) \) thỏa mãn \( 2x + y = m \) và \( 3x - 2y = 5 \).

Gợi ý:

1. Giải hệ này.
2. Tìm điều kiện cho hệ có nghiệm và dựa vào biểu thức hình thành.

### Bài 3:

#### a) Giải hệ phương trình với \( m = 2 \):

Dễ dàng thay số và giải các phương trình.

#### b) Tìm \( m \) để hệ \( (x,y) \) thỏa mãn \( x - y = 2 \).

Lập trình lại hệ và thay vào điều kiện.

#### c) Tìm giá trị nguyên của \( m \) để hệ phương trình có nghiệm \( x > 0 \) và \( y < 0 \).

Giải từng phần và kiểm tra theo điều kiện.

Bạn có thể bắt đầu từ những gợi ý trên và tiến hành giải chi tiết từng phần theo hệ phương trình cụ thể.