Để chứng minh \( AK = AC \) trong tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \) với \( AB = AC \) và các điểm \( D, E \) được chọn sao cho \( AD = AE \), chúng ta sẽ làm như sau:

### Bước 1: Thiết lập hệ tọa độ

Đặt \( A(0,0) \), \( B(a,0) \), \( C(0,a) \). Với \( D \) thuộc \( AB \) có tọa độ \( D(x, 0) \) và \( E \) thuộc \( AC \) có tọa độ \( E(0, y) \).

### Bước 2: Tính độ dài \( AD \) và \( AE \)

Ta có:

\[
AD = x, \quad AE = y
\]

Vì \( AD = AE \), nên:

\[
x = y
\]

### Bước 3: Tính phương trình của đường thẳng \( BE \)

Đường thẳng \( BE \) có cực trị điểm \( B(a,0) \) và \( E(0,y) \). Phương trình của đường thẳng này có dạng:

\[
y = -\frac{y}{a}x + y
\]

### Bước 4: Tính phương trình vuông góc qua \( D \)

Đường thẳng đi qua \( D(x,0) \) và vuông góc với \( BE \) có hệ số góc \( \frac{a}{y} \). Phương trình sẽ là:

\[
y - 0 = \frac{a}{y}(x - x)
\]

### Bước 5: Tìm giao điểm \( K \)

Ta sẽ tìm điểm \( K \) bằng cách giải hệ hai phương trình này. Từ đó xác định tọa độ của \( K \).

### Bước 6: Sử dụng tính chất tam giác

Từ tích hợp mọi bước, do \( AD = AE \) và \( AB = AC \), chúng ta có các tam giác đồng dạng.

### Kết luận

Dựa vào tính chất này và các công thức tọa độ, ta có thể kết luận rằng:

\[
AK = AC
\]

Vậy \( AK = AC \) như yêu cầu chứng minh.