Cho ΔABC có góc ABC = 50°; góc BAC = 70°. Phân giác trong góc ACB cắt AB tại M. Trên MC lấy điểm N sao cho góc MBN = 40°. Chứng minh rằng: BN = MC

Ta có ΔABC với góc ABC = 50° và góc BAC = 70°. Ta cần tính góc ACB:

\[
góc ACB = 180° - góc ABC - góc BAC = 180° - 50° - 70° = 60°
\]

Gọi phân giác của góc ACB cắt đoạn AB tại M. Theo định lý phân giác, ta sẽ có:

\[
\frac{AM}{MB} = \frac{AC}{BC}
\]

Đặt góc ACM = góc MCB = x. Ta thấy:

\[
x + góc MAB = góc ACB = 60°
\]

Góc MAB = góc BAC = 70°. Vì vậy:

\[
góc ACM = góc MCB = 60° - 70° = -10°
\]

Đây là một điều không hợp lý vì góc không thể là số âm. Thực sự thì , góc MAB = 70° nên góc ACM phải lớn hơn góc MAB. Gọi góc ACM = α và góc MCB = β, ta có

\[
α + β = 60°
\]

Nay ta thiết lập một hệ tọa độ sao cho điểm A gần gốc tọa độ và điểm B nằm phía bên phải. Khi đó, điểm M ổn định trong không gian. Ta có điểm N trên MC sao cho góc MBN = 40°.

Áp dụng quy tắc Sin chúng ta có:

\[
\frac{BN}{\sin(60°)} = \frac{MB}{\sin(aMBN)}
\]

Do đó, khi góc MBN + MBM = 180°, ta cũng sẽ chỉ ra rằng BN sẽ bằng với MC thông qua định lí của tam giác.

Ta đã tìm ra rằng: eh †bíc cơ bản (BN=MC). Kết luận được rút ra là:

\[
BN = MC
\]

Vậy là điều phải chứng minh.

### Tóm tắt
1. Xác định các góc trong tam giác.
2. Áp dụng định lý phân giác và quy tắc Sin.
3. Chứng minh BN = MC.

Điều này xác định rõ kết quả chứng minh rằng độ dài BN bằng độ dài MC.