Để chứng minh rằng \(10^n + 18n - 1\) chia hết cho 27 với mọi \(n \in \mathbb{N}^*\), ta có thể sử dụng phương pháp quy nạp.

**Bước 1: Kiểm tra với \(n = 1\)**

Thay \(n = 1\):

\[
10^1 + 18 \cdot 1 - 1 = 10 + 18 - 1 = 27
\]

27 chia hết cho 27, nên \(P(1)\) đúng.

**Bước 2: Giả thuyết quy nạp**

Giả sử với một số nguyên dương \(k\), \(P(k)\) là đúng, tức là:

\[
10^k + 18k - 1 \equiv 0 \mod 27
\]

**Bước 3: Chứng minh \(P(k+1)\)**

Ta cần chứng minh rằng

\[
10^{k+1} + 18(k+1) - 1 \equiv 0 \mod 27
\]

Tính \(10^{k+1}\):

\[
10^{k+1} = 10 \cdot 10^k
\]

Thay vào biểu thức:

\[
10^{k+1} + 18(k+1) - 1 = 10 \cdot 10^k + 18k + 18 - 1
\]
\[
= 10 \cdot 10^k + 18k + 17
\]

Theo giả thuyết quy nạp, ta có:

\[
10^k + 18k - 1 \equiv 0 \mod 27 \implies 10^k + 18k \equiv 1 \mod 27
\]

Thay vào:

\[
10 \cdot 10^k + 18k + 17 \equiv 10 \cdot (1 - 18k) + 18k + 17 \mod 27
\]
\[
\equiv 10 - 180k + 18k + 17 \mod 27
\]
\[
= 27 - 162k \mod 27
\]
\[
\equiv 0 \mod 27
\]

**Kết luận:**

Vì \(P(1)\) đúng và nếu \(P(k)\) đúng thì \(P(k+1)\) cũng đúng, nên theo phương pháp quy nạp, \(10^n + 18n - 1\) chia hết cho 27 với mọi \(n \in \mathbb{N}^*\).