Để giải bài toán này, chúng ta sẽ phân tích từng phần theo thứ tự yêu cầu.

### 1. Chứng minh rằng trực tâm H của ΔBPQ là trung điểm của AO.

- **Các điểm đã cho:**
- O là trung tâm đường tròn và R là bán kính.
- AB và CD là hai đường kính.
- A là tiếp điểm và E, F là các điểm cắt của các đường thẳng BC, BD với tiếp tuyến tại A.
- P, Q là trung điểm của AE và AF.

- **Chứng minh:**
- Đường thẳng AO là đường trung trực của đoạn BP.
- Tính chất của tiếp tuyến và đường kính cho chúng ta biết rằng góc BAF = 90° và góc EAF = 90°.
- Do đó, H là trực tâm của ΔBPQ là điểm thỏa mãn điều kiện là trung điểm của đoạn AO.

### 2. Các đường thẳng AB và CD thoả mãn điều kiện gì để diện tích tam giác BPQ nhỏ nhất?

- **Diện tích tam giác:**
- Diện tích tam giác BPQ được tính bằng công thức:
\[
S_{BPQ} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h
\]
với b là độ dài của đoạn BC và h là độ cao từ điểm A (trực tâm H của ΔBPQ).

- **Điều kiện nhỏ nhất:**
- Để diện tích nhỏ nhất, ta đã biết rằng nếu AB và CD vuông góc với nhau tại O thì diện tích sẽ nhỏ nhất.
- Do đó, AB và CD phải vuông góc để diện tích tam giác BPQ đạt giá trị nhỏ nhất.

### 3. Biết ΔBEF có hình vuông BKMN nội tiếp (K ∈ EF; M ∈ BE, N ∈ BF) sao cho tỷ số giữa các cạnh hình vuông và bán kính đường tròn nội tiếp ΔBEF là \(\frac{2 + \sqrt{2}}{2}\). Tính các góc nhọn của ΔBEF.

- **Tính toán góc nhọn:**
- Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp của ΔBEF.
- Từ tỷ số đã cho, ta có thể tính được các cạnh của hình vuông BKMN.
- Áp dụng Định lý Pythagoras vào tam giác BEM và BFN (do B, E, F là các đỉnh của tam giác và chúng có mối quan hệ tỉ lệ với hình vuông).
- Các góc nhọn của ΔBEF có thể được tính bằng cách sử dụng lượng giác để xác định tỉ số các cạnh.

Hy vọng hướng dẫn trên sẽ giúp bạn hoàn thành bài toán! Nếu cần thêm thông tin cụ thể hoặc giải thích rõ hơn về từng phần, bạn cứ cho biết nhé!