Để giải hệ phương trình sau:

\[
\begin{cases}
mx + y = 3 \qquad (1) \\
4x + my = 6 \qquad (2)
\end{cases}
\]

Ta sẽ biểu diễn \(y\) từ phương trình (1):

\[
y = 3 - mx
\]

Thay \(y\) vào phương trình (2):

\[
4x + m(3 - mx) = 6
\]

Giải phương trình này:

\[
4x + 3m - m^2x = 6
\]

Nhóm các hạng tử lại với nhau:

\[
(4 - m^2)x + 3m - 6 = 0
\]

Để hệ phương trình có nghiệm, ta cần có:

1. \(x < 0\)
2. \(y > 1\)

Từ phương trình \((4 - m^2)x + 3m - 6 = 0\), ta có:

\[
x = \frac{6 - 3m}{4 - m^2}
\]

Để thỏa mãn điều kiện \(x < 0\), ta cần:

\[
\frac{6 - 3m}{4 - m^2} < 0
\]

Điều này xảy ra khi:

1. \(6 - 3m > 0\) và \(4 - m^2 < 0\) hoặc
2. \(6 - 3m < 0\) và \(4 - m^2 > 0\)

**Tình huống 1:**

1. \(6 - 3m > 0 \Rightarrow m < 2\)
2. \(4 - m^2 < 0 \Rightarrow m^2 > 4 \Rightarrow m > 2 \text{ hoặc } m < -2\)

Tuy nhiên, ở đây không có giá trị nào của \(m\) thỏa mãn đồng thời \(m < 2\) và \(m > 2\), nên không có nghiệm trong trường hợp này.

**Tình huống 2:**

1. \(6 - 3m < 0 \Rightarrow m > 2\)
2. \(4 - m^2 > 0 \Rightarrow m^2 < 4 \Rightarrow -2 < m < 2\)

Tương tự, không có giá trị nào của \(m\) thỏa mãn cả hai điều kiện đồng thời.

Do đó, chỉ có trường hợp \(m < -2\) mới có khả năng cho nghiệm.

Tiếp theo, ta bắt đầu từ điều kiện \(y > 1\):

Sử dụng biểu thức \(y = 3 - mx\), ta có:

\[
3 - mx > 1 \Rightarrow mx < 2 \Rightarrow x < \frac{2}{m}
\]

Khi này \(m < -2\), tức là \(\frac{2}{m} < 0\), nghĩa là \(x < 0\) sẽ đảm bảo điều đó.

Cuối cùng, ta có hai điều kiện:

- \(m < -2\)
- \(m > 2\) là mâu thuẫn

Vì vậy, nghiệm của hệ phương trình sẽ là \(m < -2\).

Đó là lời giải cho hệ phương trình đã cho.