Để giải bài toán tối ưu này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp lập trình tuyến tính.

### Bước 1: Xác định các biến

- Gọi \( x_1 \) là số kg sản phẩm loại 1.
- Gọi \( x_2 \) là số kg sản phẩm loại 2.

### Bước 2: Xây dựng hàm mục tiêu

Hàm mục tiêu là thu lợi nhuận tối đa:
\[
Z = 40x_1 + 30x_2
\]
Trong đó:
- \( 40x_1 \) là lợi nhuận từ sản phẩm loại 1.
- \( 30x_2 \) là lợi nhuận từ sản phẩm loại 2.

### Bước 3: Xây dựng các ràng buộc

Chúng ta có 2 ràng buộc chính là nguyên liệu và thời gian làm việc.

1. Ràng buộc về nguyên liệu:
\[
2x_1 + 4x_2 \leq 200
\]

2. Ràng buộc về thời gian:
\[
30x_1 + 15x_2 \leq 1200
\]

### Bước 4: Điều kiện không âm

Các biến sản phẩm không thể âm:
\[
x_1 \geq 0 \quad \text{và} \quad x_2 \geq 0
\]

### Bước 5: Giải hệ phương trình

Ta sẽ giải hệ phương trình này để tìm giá trị tối ưu. Đầu tiên, ta sẽ chuẩn hóa các ràng buộc:

1. Nguyên liệu:
\[
x_1 + 2x_2 \leq 100 \quad \text{(chia cả hai vế cho 2)}
\]

2. Thời gian:
\[
2x_1 + x_2 \leq 80 \quad \text{(chia cả hai vế cho 15)}
\]

### Bước 6: Phân tích các điểm giao nhau

Chúng ta sẽ tìm các điểm giao nhau của các đường ràng buộc.

Giải hệ phương trình:
1. \( x_1 + 2x_2 = 100 \)
2. \( 2x_1 + x_2 = 80 \)

Từ phương trình 1:
\[
2x_2 = 100 - x_1 \quad \Rightarrow \quad x_2 = \frac{100 - x_1}{2}
\]

Thay vào phương trình 2:
\[
2x_1 + \frac{100 - x_1}{2} = 80
\]
Nhân cả hai vế với 2 để loại phân số:
\[
4x_1 + 100 - x_1 = 160
\]
\[
3x_1 = 60 \quad \Rightarrow \quad x_1 = 20
\]
Thay \( x_1 = 20 \) vào phương trình 1:
\[
20 + 2x_2 = 100 \quad \Rightarrow \quad 2x_2 = 80 \quad \Rightarrow \quad x_2 = 40
\]

### Bước 7: Kiểm tra các điểm cực trị

Ta kiểm tra các ràng buộc và tính hàm mục tiêu tại các điểm:

1. Tại \( (0, 0) \):
\[
Z = 40(0) + 30(0) = 0
\]

2. Tại \( (20, 40) \):
\[
Z = 40(20) + 30(40) = 800 + 1200 = 2000
\]

3. Tại giao điểm với trục x và y của các ràng buộc khác:
- Tìm khi \( x_2 = 0 \):
\[
x_1 = 100 \quad \text{(không khả thi vì vượt ràng buộc thời gian)}
\]

- Tìm khi \( x_1 = 0 \):
\[
2x_2 = 100 \quad \Rightarrow \quad x_2 = 50 \quad (Thời gian: x_2 = 50: Z = 1500)
\]

### Kết luận

Điểm tối ưu là sản xuất:
- 20 kg sản phẩm loại 1 và 40 kg sản phẩm loại 2, mang lại lợi nhuận cao nhất là 2000 nghìn đồng.